ریاضیات

وردش عمل (Variation of Action) — نوسانگر هارمونیک ساده

در این مثال، یک جرم m به یک فنر با ثابت k متصل است.

۱. تعریف سیستم

مختصات حرکت: x(t) نسبت به نقطه تعادل

T = ½ m ẋ²

U = ½ k x²

لاگرانژی:

L = T - U = ½ m ẋ² - ½ k x²

۲. تعریف عمل

S[x(t)] = ∫t₁t₂ L(x, ẋ) dt = ∫t₁t₂ [½ m ẋ² - ½ k x²] dt

۳. اعمال وردش

فرض کنیم مسیر واقعی کمی تغییر کند:

x(t) → x(t) + δx(t), δx(t₁) = δx(t₂) = 0

تغییر در عمل:

δS = ∫t₁t₂ [ m ẋ δẋ - k x δx ] dt

با انتگرال‌گیری جزء به جزء روی m ẋ δẋ:

δS = ∫t₁t₂ [ - m ẍ - k x ] δx dt

۴. شرط مینیمم عمل

برای اینکه δS = 0 برقرار باشد:

m ẍ + k x = 0 → ẍ + (k/m) x = 0

۵. نتیجه

• معادله حرکت نوسانگر هارمونیک ساده به دست آمد
• فرکانس زاویه‌ای نوسان: ω = √(k/m)
• با استفاده از وردش عمل، معادله حرکت و فرکانس نوسان به سادگی استخراج شد