ریاضیات

وردش عمل (Variation of Action) — ذره روی سطح شیب‌دار

در این مثال، یک ذره با جرم m روی یک سطح شیب‌دار با زاویه α نسبت به افق حرکت می‌کند.

۱. تعریف سیستم

محور x را موازی سطح شیب‌دار می‌گیریم. نیروی گرانشی مؤثر روی محور x:

F = m g sin α

انرژی جنبشی و پتانسیل:

T = ½ m ẋ²

U = m g x sin α

لاگرانژی:

L = T - U = ½ m ẋ² - m g x sin α

۲. تعریف عمل

S[x(t)] = ∫t₁t₂ L(x, ẋ) dt = ∫t₁t₂ [½ m ẋ² - m g x sin α] dt

۳. اعمال وردش

فرض کنیم مسیر واقعی x(t) کمی تغییر کند:

x(t) → x(t) + δx(t), δx(t₁)=δx(t₂)=0

تغییر در عمل:

δS = ∫t₁t₂ [ m ẋ δẋ - m g sin α δx ] dt

با انتگرال‌گیری جزء به جزء روی m ẋ δẋ:

δS = ∫t₁t₂ [ - m ẍ - m g sin α ] δx dt

۴. شرط مینیمم عمل

برای اینکه δS = 0 برقرار باشد:

m ẍ = - m g sin α → ẍ = - g sin α

۵. نتیجه

ذره روی سطح شیب‌دار شتاب ثابت دارد:

• ẍ = - g sin α

با استفاده از وردش عمل، معادله حرکت بدون نیاز به تحلیل مستقیم نیروها به دست آمد.