وردش عمل (Variation of Action) و معادلهٔ لاگرانژ

در مکانیک تحلیلی، مفهوم عمل و تغییرات کوچک آن اساس به‌دست آمدن معادلات حرکت است. در ادامه قدم‌به‌قدم این ایده را شرح می‌دهیم.

۱. تعریف عمل

عمل \(S\) برای یک مسیر \(x(t)\) بین زمان‌های \(t_1\) و \(t_2\) به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

S = \int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot{x},t)\;dt

۲. تغییر کوچک مسیر — «وردش»

فرض کنید مسیر واقعی \(x(t)\) را کمی تغییر می‌دهیم:

\tilde{x}(t) = x(t) + \delta x(t), \quad \delta x(t_1)=\delta x(t_2)=0

تغییر متناظر در عمل برابر است با \(\delta S\):

\delta S = \delta \int_{t_1}^{t_2} L(x,\dot{x},t)\,dt = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial x}\delta x + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\delta\dot{x} \right) dt

۳. تبدیل عضو حاوی \(\delta\dot{x}\) با انتگرال‌گیری جزء به جزء

از آنجا که \(\delta\dot{x} = \dfrac{d}{dt}(\delta x)\)، عضو دوم را با انتگرال‌گیری جزء به جزء تبدیل می‌کنیم:

\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \delta\dot{x}\,dt
= \left[ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \delta x \right]_{t_1}^{t_2}
- \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) \delta x \,dt

با توجه به شرط \(\delta x(t_1)=\delta x(t_2)=0\)، جملهٔ مرزی صفر می‌شود.

۴. شرط مینیمم (یا سکشن) عمل

بنابراین:

\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \frac{\partial L}{\partial x}
- \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) \right) \delta x \; dt

برای اینکه \(\delta S=0\) برای همهٔ تغییرات دلخواه \(\delta x(t)\) برقرار باشد، ضِربی که در مقابل \(\delta x\) قرار دارد باید صفر شود. این نتیجه می‌دهد:

۵. معادلهٔ اویلر-لاگرانژ (Euler–Lagrange)

\boxed{\; \frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \;}

این معادله یک رابطهٔ عمومی است که برای هر دستگاهی با لاگرانژی معلوم، معادلهٔ حرکت را می‌دهد.

۶. مثال کوتاه — ذرهٔ یک بعدی با لاگرانژی ساده

لاگرانژی برای یک ذرهٔ ساده در میدان گرانشی (یا پتانسیل \(U(x)\)):

L = T - U = \tfrac{1}{2} m \dot{x}^2 - U(x)

مشتق‌ها را محاسبه می‌کنیم:

1. \(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x}\)
2. \(\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = m\ddot{x}\)
3. \(\dfrac{\partial L}{\partial x} = -\dfrac{dU}{dx}\)

در نتیجه معادلهٔ اویلر-لاگرانژ می‌دهد:

m\ddot{x} + \frac{dU}{dx} = 0 \quad \Longrightarrow \quad m\ddot{x} = -\frac{dU}{dx}

که همین قانون دوم نیوتن برای نیروی محافظه‌کار \(F=-dU/dx\) است.