ریاضیات

خلاصه و جمع‌بندی نهایی تحلیل تخته روی کره

۱) هدف مسئله

هدف، یافتن تابع پتانسیل گرانشی V(θ) برای تختهٔ یکنواختی به جرم m و ضلع ۲a است
که بر روی کره‌ای به شعاع b قرار دارد و به اندازهٔ زاویهٔ θ از حالت تعادل منحرف می‌شود.

۲) انتخاب متغیر مناسب

متغیر مناسب برای توصیف حالت سیستم، زاویهٔ بین محور قائم و نرمال تخته است:

θ = زاویه بین نرمال صفحه و محور قائم

این زاویه تمام حالت‌های ممکن تخته را تعیین می‌کند، پس بهترین متغیر تعمیم‌یافته برای نوشتن
لاگرانژی یا تابع پتانسیل است.

۳) تحلیل هندسه‌تحلیلی

x sinθ + z cosθ = b

P = (b sinθ , 0 , b cosθ)

C = ((a+b) sinθ , 0 , (a+b) cosθ)

به‌علاوه، هنگام چرخش تخته روی کره، نقطه تماس روی کره قوسی به طول b θ می‌پیماید و مؤلفهٔ عمودی آن:

Δz_contact = b θ sinθ

بنابراین ارتفاع مرکز جرم تخته:

z_cm = (a + b) cosθ + b θ sinθ

۴) تابع پتانسیل گرانشی

V(θ) = m g ((a + b) cosθ + b θ sinθ)

۵) تفسیر فیزیکی

• (a + b) cosθ → اثر چرخش تخته حول لبه تماس


• b θ sinθ → اثر لغزش نقطه تماس بر سطح کره

۶) تقریب برای زاویه‌های کوچک

sinθ ≈ θ , cosθ ≈ 1 − ½θ²

V(θ) ≈ m g ((a + b) − ½(a − b) θ²)

از آن‌جا که b > a است، ترم دوم مثبت می‌شود و حالت تعادل پایدار خواهد بود.

🌟 جمع‌بندی نهایی:

انرژی پتانسیل تخته روی کره از دو اثر اصلی تشکیل می‌شود:

۱. چرخش تخته حول لبه تماس

۲. لغزش نقطه تماس روی کره

در نتیجه تابع نهایی پتانسیل گرانشی به‌صورت زیر است:

V(θ) = m g ((a + b) cosθ + b θ sinθ)

برای زاویه‌های کوچک رفتار سیستم همانند نوسانگر هماهنگ پایدار است.

✨ این ترکیب سینوسی و کسینوسی، پایهٔ درک حرکت اجسام روی سطوح خمیده در مکانیک تحلیلی است.