ریاضیات

انتخاب زاویه مناسب در تابع پتانسیل تخته روی کره

در مسئلهٔ تختهٔ مکعبی یکنواخت که بر روی کره‌ای به شعاع b قرار دارد،

متغیر مناسب برای توصیف حرکت، زاویهٔ θ است.

این زاویه بین محور قائم و نرمال تخته اندازه‌گیری می‌شود.

تغییر زاویهٔ θ باعث تغییر ارتفاع مرکز جرم و در نتیجه تغییر انرژی پتانسیل می‌شود.

چرا زاویهٔ θ انتخاب شد؟

• در هر لحظه وضعیت تخته فقط با یک زاویه مشخص می‌شود.
• هم چرخش خود تخته و هم لغزش نقطه تماس روی کره تابع همین زاویه است.
• پس لاگرانژی و تابع پتانسیل را می‌توان تنها بر حسب θ نوشت.

مؤلفه‌های تغییر ارتفاع مرکز جرم:

• چرخش تخته حول لبه تماس → جابجایی عمودی = a sin θ
• جابجایی نقطه تماس روی کره → طول قوس = b θ ، مؤلفه عمودی آن = b θ sin θ

در نتیجه ارتفاع مرکز جرم نسبت به حالت تعادل برابر است با:

z_cm(θ) = (a + b) cos θ + b θ sin θ

و بنابراین تابع پتانسیل گرانشی:

V(θ) = m g ((a + b) cos θ + b θ sin θ)

توضیح فیزیکی

در حالت تعادل (θ = 0)، نرمال تخته بر محور قائم منطبق است و مرکز جرم در ارتفاع بیشینهٔ a + b قرار دارد.

وقتی تخته به اندازهٔ θ منحرف می‌شود:

• نقطه تماس روی کره به اندازهٔ قوس b θ جابجا می‌شود.
• به‌علت این لغزش، مرکز جرم علاوه بر چرخش تخته، کمی بالا یا پایین‌تر می‌رود.
• ترکیب این دو اثر منجر به عبارت سینوسی و کسینوسی در تابع پتانسیل می‌شود.

برای زاویه‌های کوچک (θ ≪ 1):

sin θ ≈ θ , cos θ ≈ 1 − ½ θ²

در این تقریب:

V(θ) ≈ m g ((a + b)(1 − ½ θ²) + b θ²)

که ساده می‌شود به:

V(θ) ≈ ½ m g (b − a) θ²  (+ ثابت)

در نتیجه اگر b > a باشد، وضعیت تعادل پایدار است.

این زاویه به‌گونه‌ای انتخاب شده تا تغییر پتانسیل تنها تابع یک متغیر باشد

و بتوان مستقیماً آن را در معادلهٔ لاگرانژ جای داد.