ریاضیات

تابع پتانسیل تخته مکعبی روی کره

تخته‌ای مکعبی یکنواخت به جرم m و ضلع ۲a روی کره‌ای به شعاع b متوازن است.

اگر زاویهٔ انحراف تخته از وضعیت قائم را با θ نشان دهیم، تابع پتانسیل گرانشی سیستم به‌صورت زیر به‌دست می‌آید:

تحلیل هندسی:

در حالت تعادل، فاصلهٔ مرکز جرم از مرکز کره برابر است با:

zcm = b cos θ + a sin θ

بنابراین انرژی پتانسیل گرانشی برابر می‌شود با:

U(θ) = m g (b cos θ + a sin θ)

اگر انرژی پتانسیل را نسبت به حالت تعادل (θ = 0) بسنجیم تا U(0) = 0 باشد:

U(θ) = m g [ a sin θ + b ( cos θ − 1 ) ]

➤ در زاویه‌های کوچک، می‌توان تقریب زد که sin θ ≈ θ و cos θ ≈ 1 − θ²/2،

در نتیجه پتانسیل برای زاویه‌های کوچک به شکل نوسانگر هماهنگ درمی‌آید:

U(θ) ≈ ½ m g (b − a) θ²

این تابع نشان می‌دهد که اگر b > a باشد، وضعیت تعادل پایدار است،

زیرا انرژی پتانسیل با افزایش زاویه افزایش می‌یابد.