ریاضیات

ذره روی سطح شیب‌دار متحرک و لاگرانژی

یک ذره با جرم \(m\) روی سطح شیب‌دار با زاویه \(\theta\) قرار دارد. سطح شیب‌دار جرم \(M\) دارد و می‌تواند به صورت افقی حرکت کند.

۱. مختصات

مختصات افقی ذره نسبت به زمین:

\[

x_\text{hor} = X + x \cos\theta, \quad y_\text{vert} = x \sin\theta

\]

۲. انرژی جنبشی

سطح شیب‌دار: \(\displaystyle T_\text{surface} = \frac{1}{2} M \dot{X}^2\)

ذره: \(\displaystyle T_\text{particle} = \frac{1}{2} m (\dot{X} + \dot{x}\cos\theta)^2 + \frac{1}{2} m (\dot{x}\sin\theta)^2 = \frac{1}{2} m (\dot{X}^2 + 2 \dot{X}\dot{x}\cos\theta + \dot{x}^2)\)

کل انرژی جنبشی: \(\displaystyle T = \frac{1}{2} (M+m) \dot{X}^2 + m \dot{X}\dot{x}\cos\theta + \frac{1}{2} m \dot{x}^2\)

۳. انرژی پتانسیل

\[

V = m g y = m g x \sin\theta

\]

۴. لاگرانژی

\[

L = T - V = \frac{1}{2} (M+m) \dot{X}^2 + m \dot{X}\dot{x}\cos\theta + \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - m g x \sin\theta

\]

۵. معادلات لاگرانژ

برای \(x\):

\[

m \ddot{x} + m \ddot{X} \cos\theta + m g \sin\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot{x} + \ddot{X} \cos\theta + g \sin\theta = 0

\]

برای \(X\):

\[

(M+m)\ddot{X} + m \ddot{x} \cos\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot{X} = - \frac{m}{M+m} \ddot{x} \cos\theta

\]

با حل این دو معادله می‌توان شتاب‌های \(x\) و \(X\) را بدست آورد.