سیستم سه قرقره و لاگرانژی
فرض کنید سیستمی شامل سه جرم \(m_1, m_2, m_3\) و سه قرقره بدون جرم و بدون اصطکاک داریم. هدف نوشتن لاگرانژی و یافتن معادلات حرکت است.
۱. مختصات و محدودیتها
ارتفاع سه جرم: \(y_1, y_2, y_3\) و طول نخها محدود هستند:
\[
y_1 + y_2 = L_1, \quad y_2 + y_3 = L_2
\]
با انتخاب \(y_1\) به عنوان مختصات مستقل داریم:
\[
y_2 = L_1 - y_1, \quad y_3 = y_1 + (L_2 - L_1)
\]
۲. انرژی جنبشی
\[
T = \frac{1}{2} m_1 \dot{y}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{y}_2^2 + \frac{1}{2} m_3 \dot{y}_3^2
= \frac{1}{2} (m_1 + m_2 + m_3) \dot{y}_1^2
\]
۳. انرژی پتانسیل
\[
V = m_1 g y_1 + m_2 g y_2 + m_3 g y_3
= (m_1 - m_2 + m_3) g y_1 + \text{ثابت}
\]
۴. لاگرانژی
\[
L = T - V = \frac{1}{2} (m_1 + m_2 + m_3) \dot{y}_1^2 - (m_1 - m_2 + m_3) g y_1
\]
۵. معادله لاگرانژ
\[
\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{y}_1} \right) - \frac{\partial L}{\partial y_1} = 0
\]
\[
\frac{\partial L}{\partial \dot{y}_1} = (m_1 + m_2 + m_3) \dot{y}_1 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt} = (m_1 + m_2 + m_3) \ddot{y}_1
\]
\[
\frac{\partial L}{\partial y_1} = - (m_1 - m_2 + m_3) g
\]
\[
(m_1 + m_2 + m_3) \ddot{y}_1 - (m_1 - m_2 + m_3) g = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot{y}_1 = \frac{m_1 - m_2 + m_3}{m_1 + m_2 + m_3} g
\]
بنابراین شتاب جرم \(y_1\) با این فرمول محاسبه میشود و بقیه جرمها با توجه به محدودیتها حرکت میکنند.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.