ریاضیات

لاگرانژی ماشین اتوود

ماشین اتوود شامل دو جرم \(m_1\) و \(m_2\) متصل به یک قرقره بدون جرم است. هدف ما نوشتن لاگرانژی و یافتن معادلات حرکت است.

۱. مختصات و شرط نخ

مختصات محور \(y\) به سمت پایین گرفته شده است. اگر ارتفاع دو جرم را \(y_1\) و \(y_2\) بنامیم:

\(y_1 + y_2 = L \Rightarrow \dot{y}_1 = -\dot{y}_2\)

۲. انرژی جنبشی و پتانسیل

انرژی جنبشی:

\[

T = \frac{1}{2} m_1 \dot{y}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \dot{y}_2^2

= \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \dot{y}_1^2

\]

انرژی پتانسیل:

\[

V = m_1 g y_1 + m_2 g y_2

= m_1 g y_1 + m_2 g (L - y_1)

= (m_1 - m_2) g y_1 + \text{ثابت}

\]

۳. لاگرانژی

\[

L = T - V = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \dot{y}_1^2 - (m_1 - m_2) g y_1

\]

۴. معادله لاگرانژ

\[

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{y}_1} \right) - \frac{\partial L}{\partial y_1} = 0

\]

\[

\frac{\partial L}{\partial \dot{y}_1} = (m_1 + m_2) \dot{y}_1 \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{dt} = (m_1 + m_2) \ddot{y}_1

\]

\[

\frac{\partial L}{\partial y_1} = - (m_1 - m_2) g

\]

\[

(m_1 + m_2) \ddot{y}_1 - (m_1 - m_2) g = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot{y}_1 = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} g

\]

بنابراین شتاب جرم \(m_1\) به سمت پایین است و جرم \(m_2\) به سمت بالا حرکت می‌کند.