ریاضیات

لاگرانژی یک ذره روی سطح مورب

فرض کنید یک ذره با جرم \(m\) روی یک سطح مورب با زاویه شیب \(\theta\) حرکت می‌کند. هدف ما نوشتن لاگرانژی و یافتن معادله حرکت است.

۱. مختصات

اگر مسیر ذره روی سطح را با \(x\) نمایش دهیم، موقعیت ذره در فضای دوبعدی به صورت زیر است:

\[

x_{\text{horizontal}} = x \cos\theta, \quad y_{\text{vertical}} = x \sin\theta

\]

۲. انرژی جنبشی و پتانسیل

انرژی جنبشی:

\[

T = \frac{1}{2} m (\dot{x}_{\text{horizontal}}^2 + \dot{y}_{\text{vertical}}^2)

= \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 \cos^2\theta + \dot{x}^2 \sin^2\theta)

= \frac{1}{2} m \dot{x}^2

\]

انرژی پتانسیل گرانشی:

\[

V = m g y = m g x \sin\theta

\]

۳. لاگرانژی

لاگرانژی برابر است با:

\[

L = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - m g x \sin\theta

\]

۴. معادله لاگرانژ

معادله لاگرانژ به شکل زیر است:

\[

\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0

\]

با محاسبه مشتقات:

\[

\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \dot{x}, \quad

\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m \ddot{x}, \quad

\frac{\partial L}{\partial x} = - m g \sin\theta

\]

در نتیجه معادله حرکت می‌شود:

\[

m \ddot{x} + m g \sin\theta = 0 \quad \Rightarrow \quad \ddot{x} = - g \sin\theta

\]

بنابراین شتاب ذره روی سطح مورب برابر \(-g \sin\theta\) است و جهت آن به سمت پایین سطح می‌باشد.