ریاضیات

معادله لاگرانژ برای قرقره دیسک جرم‌دار

فرضیات سیستم

• قرقره: دیسک صلب، جرم mp و شعاع R
• گشتاور اینرسی قرقره: I = 1/2 mp R²
• طناب روی قرقره بدون لغزش حرکت می‌کند
• جسم متصل به طناب: جرم m و شتاب ẏ
• رابطه بدون لغزش: ẏ = R θ̇

انرژی سیستم

انرژی جنبشی:

• جسم: Tbody = 1/2 m ẏ²
• قرقره (چرخش): Tpulley = 1/2 I θ̇² = 1/4 mp ẏ²
• کل انرژی جنبشی: T = (1/2 m + 1/4 mp) ẏ²

انرژی پتانسیل:

V = m g y

لاگرانژ

L = T - V = (1/2 m + 1/4 mp) ẏ² - m g y

معادله لاگرانژ

معادله اصلی:

d/dt (∂L/∂ẏ) - ∂L/∂y = 0

محاسبه مشتق‌ها:

• ∂L/∂ẏ = (1/2 m + 1/4 mp) ẏ
• d/dt (∂L/∂ẏ) = (1/2 m + 1/4 mp) ÿ
• ∂L/∂y = - m g

در نتیجه معادله حرکت:

(1/2 m + 1/4 mp) ÿ + m g = 0

یا شتاب جسم:

ÿ = - m g / (1/2 m + 1/4 mp)

توضیح

این شتاب نشان می‌دهد که جرم و اینرسی چرخشی قرقره دیسک باعث کاهش شتاب جسم نسبت به حالت قرقره بی‌جرم می‌شود. هرچه قرقره سنگین‌تر باشد، شتاب کمتر خواهد بود.

نکته: می‌توان همین روش را برای قرقره‌های با ممان اینرسی متفاوت (مثلاً حلقه نازک: I = mp R²) نیز اعمال کرد.

نوشته: شما — تحلیل انرژی و لاگرانژ قرقره دیسک