ریاضیات

🧩 ۱. ذره آزاد (Free Particle)

یک ذره با جرم که در فضا بدون هیچ نیرویی حرکت می‌کند.

L = T - V = \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - 0 = \frac{1}{2} m \dot{x}^2

🔹 : انرژی جنبشی

🔹 : انرژی پتانسیل (در اینجا صفر است)

🔹 : سرعت ذره

---

🧲 ۲. نوسانگر هماهنگ ساده (Simple Harmonic Oscillator)

ذره‌ای که به فنر با ثابت وصل است.

1/2mdot{x}^2 - {1/2} k x^2

🔹 انرژی جنبشی

🔹 انرژی پتانسیل

---

🌍 ۳. ذره در میدان گرانشی

ذره‌ای با جرم در ارتفاع از سطح زمین.

L = 1/2 m dot{y}^2 - m g y

🔹 : انرژی پتانسیل گرانشی

---

⚡ ۴. ذره باردار در میدان الکترومغناطیسی

ذره‌ای با بار در میدان‌های (بردار پتانسیل مغناطیسی) و (پتانسیل الکتریکی):

L = \frac{1}{2} m \dot{\vec{r}}^2 + q \dot{\vec{r}} \cdot \vec{A} - q \phi

---

🪐 ۵. نسبیتی (Relativistic Particle)

برای ذره‌ای که با سرعت نزدیک به نور حرکت می‌کند:

L = -mc^2 \sqrt{1 - \frac{\dot{x}^2}{c^2}}

---

می‌خوای من برات یکی از این لاگرانژی‌ها رو گام‌به‌گام تحلیل کنم (مثلاً با استفاده از معادله اویلر-لاگرانژ، تا معادله حرکتش دربیاد)؟ اگر بله، بگو برای کدوم مورد 👇

(ذره آزاد، نوسانگر، گرانشی، باردار، یا نسبیتی)