چرخش آزاد جسم حول یک محور تقارن
چرخش آزاد یک جسم حول محور تقارن به حالتی گفته میشود که جسم بدون هیچ گشتاور خارجی حول محور خودش بچرخد و محور، محور تقارن ذاتی جسم باشد (مثلاً محور طولی استوانه یا مخروط).
۱. تعریف محور تقارن
محور تقارن، محوری است که چرخش حول آن شکل جسم را تغییر نمیدهد. مثالها:
- محور طولی یک استوانه یا مخروط
- محور طولی یک کره (کره به هر محوری تقارن دارد)
۲. اینرسی حول محور تقارن
چرخش حول محور تقارن:
- اگر محور چرخش روی محور تقارن باشد:
\( I = I_{\text{محور تقارن}} \)
- اگر محور چرخش خارج از محور تقارن باشد:
\( I = I_{\perp} \)
۳. معادله حرکت (معادلات اویلر)
برای محورهای اصلی \(x, y, z\) که محور \(z\) محور تقارن است:
\[
\begin{cases}
I_x \dot{\omega}_x - (I_y - I_z)\omega_y \omega_z = 0 \\
I_y \dot{\omega}_y - (I_z - I_x)\omega_z \omega_x = 0 \\
I_z \dot{\omega}_z - (I_x - I_y)\omega_x \omega_y = 0
\end{cases}
\]
اگر محور تقارن داشته باشیم (\(I_x = I_y \neq I_z\)):
\[
\begin{cases}
I_x \dot{\omega}_x - (I_x - I_z)\omega_y \omega_z = 0 \\
I_x \dot{\omega}_y - (I_z - I_x)\omega_z \omega_x = 0 \\
I_z \dot{\omega}_z = 0
\end{cases}
\]
نکته: زاویه سرعت حول محور تقارن (\(\omega_z\)) ثابت میماند.
۴. پایداری چرخش آزاد
- چرخش حول محور با بیشترین یا کمترین اینرسی پایدار است.
- چرخش حول محور با اینرسی میانی ناپایدار است (مثل مداد که روی محور کوتاهش بچرخد).
۵. نمودار شماتیک
نمایش محور تقارن و بردار تکانه زاویهای:
محور تقارن
L
refX="0" refY="3.5" orient="auto">
۶. نتیجه
- زاویه سرعت حول محور تقارن ثابت است.
- تکانه زاویهای حول محور تقارن ثابت میماند.
- پایدار یا ناپایدار بودن حرکت بستگی به اینرسی محورها دارد.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.