ریاضیات

محاسبه ضخامت سرب برای جذب 99.9٪ پرتو X با انرژی 50 keV

۱. داده‌ها

• انرژی پرتو: 50 keV
• ماده: سرب (Pb)
• چگالی سرب (تقریبی): ρ = 11.4 g/cm³
• جذب مورد نظر: 99.9٪ (یعنی I/I₀ = 0.001)

۲. معادلهٔ جذب

شرح معادلهٔ پایهٔ جذب:

I = I_0 \\, e^{-\mu x}

که در آن μ ضریب جذب خطی (cm−1) و x ضخامت بر حسب cm است.

۳. ضخامت لازم برای 99.9٪ جذب

با قرار دادن I/I_0 = 0.001 داریم:

0.001 = e^{- \mu x} \quad \Rightarrow \quad x = \frac{\ln 1000}{\mu} \approx \frac{6.908}{\mu}

۴. ضریب تضعیف خطی μ

ضریب تضعیف خطی برابر است با:

\mu = (\mu/\rho) \cdot \rho

از داده‌های استاندارد (NIST) برای Pb در انرژی 50 keV مقدار تقریبی ضریب تضعیف جرمی برابر است با \mu/\rho ≈ 5 cm²/g. بنابراین:

\mu ≈ 5 \times 11.4 = 57 \; \text{cm}^{-1}

۵. نتیجهٔ عددی

با قرار دادن μ ≈ 57 cm−1:

x = 6.908 / 57 ≈ 0.121 \; \text{cm} ≈ 1.21 \; \text{mm}

✅ بنابراین تقریباً 1.2 میلی‌متر سرب برای جذب 99.9٪ پرتو X با انرژی 50 keV لازم است.

نکات مهم:

• مقدار μ/ρ دقیق وابسته به ترکیب ایزوتوپی و دادهٔ آزمایشی است؛ عدد 5 cm²/g یک تقریب رایج است. برای دقت بالا توصیه می‌شود مقادیر NIST (XCOM) بررسی شوند.
• اثر پراکندگی (Scattering) می‌تواند طول موثر را تغییر دهد؛ محاسبات بالا بر پایهٔ تضعیف خطی ساده (بدون در نظر گرفتن هندسهٔ منبع و پراکندگی ثانویه) است.

۶. مایل به جدول برای انرژی‌های دیگر هستی؟

اگر بخواهی، می‌توانم جدول یا نموداری تولید کنم که ضخامت لازم برای نرخ‌های جذب مختلف (مثلاً 90٪، 99٪، 99.9٪) را برای مجموعه‌ای از انرژی‌ها (مثلاً 10 تا 150 keV) نشان دهد.

در صورت نیاز می‌توانم مقادیر دقیق μ/ρ را از پایگاه NIST XCOM استخراج کنم و جدول دقیق‌تری بسازم.