ریاضیات

تولید زوج در برخورد فوتون‌ها (Pair Production)

1️⃣ مقدمه

تولید زوج یکی از فرآیندهای مهم در فیزیک هسته‌ای و ذرات بنیادی است. در این فرآیند، یک فوتون پرانرژی در مجاورت هسته یا ذره باردار انرژی خود را به یک ذره و پادذره تبدیل می‌کند. معمول‌ترین حالت آن الکترون و پوزیترون است:

γ → e⁻ + e⁺

نکته: این فرآیند در خلاء رخ نمی‌دهد، زیرا قانون پایستگی تکانه و انرژی اجازه نمی‌دهد. وجود هسته برای جذب تکانه اضافی ضروری است.

2️⃣ شرط انرژی

انرژی فوتون باید حداقل برابر مجموع جرم دو ذره باشد:

E_γ ≥ 2 m_e c²

• m_e : جرم الکترون (≈ 9.11 × 10⁻³¹ kg)
• c : سرعت نور (≈ 3 × 10⁸ m/s)

بنابراین:

E_γ ≥ 2 × 0.511 MeV ≈ 1.022 MeV

اگر انرژی فوتون بیشتر باشد، انرژی اضافی به صورت حرکت ذرات و تکانه منتقل می‌شود.

3️⃣ نقش هسته

هسته در کنار فوتون، به عنوان تثبیت‌کننده تکانه عمل می‌کند. بدون هسته:

• قانون پایستگی تکانه نقض می‌شود.
• تولید زوج غیرممکن است.

هسته مقدار کمی تکانه دریافت می‌کند ولی انرژی خود را تقریباً تغییر نمی‌دهد.

4️⃣ ویژگی‌های فرآیند

• فوتون پرانرژی لازم است: معمولاً در محدوده X-ray یا گاما.
• زاویه و انرژی ذرات تولیدی: به انرژی فوتون و جرم هسته وابسته است.
• محدوده ماده: در مواد سنگین مانند طلا یا سرب احتمال تولید زوج بالاتر است.

5️⃣ معادله دقیق‌تر (نرخ تولید)

نرخ تولید زوج برای فوتون با انرژی E_γ در مجاورت هسته‌ای با عدد اتمی Z تقریباً به صورت زیر است:

σ_pair ≈ α r_e² Z² [ (28/9) ln(2 E_γ / m_e c²) - 218/27 ]

• σ_pair : مقطع سطحی تولید زوج (احتمال برهم‌کنش)
• α : ثابت ساختار ریز (≈ 1/137)
• r_e : شعاع کلاسیک الکترون (≈ 2.82 × 10⁻¹⁵ m)
• Z : عدد اتمی هسته

این فرمول برای فوتون‌های پرانرژی E_γ ≫ m_e c² معتبر است.

6️⃣ نمودار شماتیک

فرآیند را می‌توان به شکل ساده زیر نمایش داد:

γ

\

\

* → e⁻

|

→ e⁺

(هسته)

7️⃣ نتیجه‌گیری

• تولید زوج یکی از راه‌های مهم فوتون برای تبدیل انرژی به جرم است.
• این فرآیند پایه‌ای برای رادیوگرافی پزشکی با پرتو گاما و فیزیک هسته‌ای محسوب می‌شود.
• شرط انرژی و وجود هسته کلیدی هستند: بدون آن‌ها تولید زوج رخ نمی‌دهد.