ریاضیات

قانون فاراده (القای الکترومغناطیسی)

مقدمه

قانون فاراده یکی از قوانین بنیادی الکترومغناطیس است که بیان می‌کند

تغییر شار میدان مغناطیسی در یک مدار بسته باعث ایجاد

نیروی محرکه الکتریکی (EMF) و در نتیجه جریان القایی می‌شود.

بیان قانون فاراده (فرم انتگرالی)

نیروی محرکه الکتریکی القایی برابر است با منفی نرخ تغییر شار مغناطیسی:

ε = − dΦB / dt

• ε : نیروی محرکه الکتریکی (ولت)
• ΦB : شار میدان مغناطیسی
• t : زمان

علامت منفی نشان‌دهنده قانون لنز است.

شار میدان مغناطیسی

شار میدان مغناطیسی از رابطه زیر تعریف می‌شود:

ΦB = ∬ B⃗ · dS⃗

در حالت ساده (میدان یکنواخت):

ΦB = B A cosθ

• B : اندازه میدان مغناطیسی
• A : مساحت سطح
• θ : زاویه بین میدان و بردار عمود بر سطح

فرم برداری (فضای برداری)

قانون فاراده به‌صورت انتگرالی در فضای برداری:

∮ E⃗ · dl⃗ = − d/dt ∬ B⃗ · dS⃗

یعنی گردش میدان الکتریکی برابر است با منفی نرخ تغییر شار میدان مغناطیسی.

فرم دیفرانسیلی قانون فاراده

با استفاده از قضیه استوکس:

∇ × E⃗ = − ∂B⃗ / ∂t

این رابطه نشان می‌دهد که:

• میدان مغناطیسی متغیر با زمان
• باعث ایجاد میدان الکتریکی چرخشی می‌شود

قانون لنز

قانون لنز جهت جریان القایی را مشخص می‌کند:

جهت جریان القایی به‌گونه‌ای است که با علت ایجادکنندهٔ خود مخالفت می‌کند.

یعنی میدان مغناطیسی ناشی از جریان القایی، تغییر شار اولیه را خنثی می‌کند.

مثال مفهومی

اگر شار مغناطیسی عبوری از یک حلقه افزایش یابد:

• جریان القایی ایجاد می‌شود
• جهت آن طوری است که میدان مغناطیسی مخالف افزایش شار ایجاد کند

نکات مهم دانشگاهی

• قانون فاراده یکی از چهار معادله ماکسول است
• پایهٔ عملکرد ژنراتورها، ترانسفورماتورها و القاگرهاست
• برخلاف الکتروستاتیک، میدان E در اینجا چرخشی است

جمع‌بندی

• تغییر شار مغناطیسی → میدان الکتریکی القایی
• علامت منفی → قانون لنز
• فرم دیفرانسیلی → ارتباط مستقیم با معادلات ماکسول