ریاضیات

حل مثال سیم توپر با استفاده از قانون آمپر

صورت مسئله

سیمی توپر با شعاع R جریان یکنواخت I را در راستای محور خود حمل می‌کند.

میدان مغناطیسی را:

• الف) داخل سیم (r < R)
• ب) خارج سیم (r > R)

با استفاده از قانون آمپر بیابید.

گام ۱: بررسی تقارن

• سیم بلند و مستقیم → تقارن استوانه‌ای
• میدان مغناطیسی در راستای زاویه‌ای (φ̂)
• مقدار میدان فقط تابع فاصله شعاعی r است

B⃗ = B(r) φ̂

گام ۲: محاسبه چگالی جریان

چون جریان یکنواخت است:

J = I / (πR2)

گام ۳: انتخاب مسیر آمپری

یک مسیر دایره‌ای به شعاع r و هم‌محور با سیم انتخاب می‌کنیم.

dl⃗ = r dφ φ̂

الف) میدان مغناطیسی داخل سیم ( r < R )

گام ۴: محاسبه جریان محصور

سطح محصور مسیر آمپری:

A = πr2

جریان محصور:

Ienc = J × A = I r2 / R2

گام ۵: اعمال قانون آمپر

∮ B⃗ · dl⃗ = μ0 Ienc

سمت چپ:

∮ B⃗ · dl⃗ = 2π r B(r)

پس:

2π r B(r) = μ0 I r2 / R2

در نتیجه:

B(r) = μ0 I r / (2π R2)

پاسخ نهایی داخل سیم

B⃗ = ( μ0 I r / 2π R2 ) φ̂

ب) میدان مغناطیسی خارج سیم ( r > R )

گام ۶: جریان محصور

برای r بزرگ‌تر از R، کل جریان سیم در مسیر آمپری محصور می‌شود:

Ienc = I

گام ۷: اعمال قانون آمپر

2π r B(r) = μ0 I

پس:

B(r) = μ0 I / (2π r)

پاسخ نهایی خارج سیم

B⃗ = ( μ0 I / 2π r ) φ̂

نکته مفهومی مهم

• داخل سیم: میدان مغناطیسی متناسب با r افزایش می‌یابد
• خارج سیم: میدان مغناطیسی با 1/r کاهش می‌یابد
• بیشترین مقدار میدان در r = R رخ می‌دهد