### مننثال سهبعدی قانون فاراده با عملیات چند مرحلهای به سبک متال
```html
🔥 مثال سهبعدی قانون فاراده (چند مرحلهای) 🔥
∮ E⃗ · dl⃗ = - dΦB / dt
یک حلقهٔ دایرهای رسانا با شعاع R را در مرکز یک میدان مغناطیسی یکنواخت در جهت محور z در نظر بگیر.
شدت میدان مغناطیسی با زمان تغییر میکند:
B(t) = B₀ · t (افزایش خطی با زمان).
گام ۱: محاسبهٔ شار مغناطیسی
شار مغناطیسی از سطح حلقه:
ΦB(t) = B(t) · A = (B₀ · t) · (π R²)
گام ۲: مشتق زمانی شار (منشأ نیروی محرکه القایی)
نیروی محرکهٔ القایی از قانون فاراده به دست میآید:
ε = - dΦB/dt = - d[(B₀ t)(π R²)]/dt = - B₀ · π R²
چون B(t) با زمان افزایش مییابد، علامت منفی نشان میدهد میدان الکتریکی القایی جهت مخالف افزایش شار را ایجاد میکند (اصل لنز).
گام ۳: توزیع میدان الکتریکی القایی روی مسیر حلقه
میدان الکتریکی القایی حلقهوار و مماسی بر مسیر دایرهای است. با تقارن دایرهای:
∮ E⃗ · dl⃗ = Etan(R) · (محیط حلقه) = Etan(R) · (2πR)
Etan(R) = ε / (2πR) = [ - B₀ · π R² ] / (2πR) = - (B₀ R) / 2
نتیجه: مقدار میدان الکتریکی القایی در شعاع حلقه متناسب با R است و جهت آن بر خلاف افزایش شار میچرخد.
گام ۴: جهت جریان القایی (اصل لنز)
چون B(t) در جهت +z در حال افزایش است، جریان القایی جهت میگیرد تا میدان مخالف (+z) بسازد.
بنابراین جهت جریان القایی بهصورت حلقهوار و مطابق قاعدهٔ دست راست، مخالف افزایش شار خواهد بود.
گام ۵: محاسبهٔ جریان القایی با مقاومت حلقه
اگر مقاومت کل حلقه Rloop باشد:
Iind = ε / Rloop = [ - B₀ · π R² ] / Rloop
علامت منفی جهت جریان را (برای مقابله با افزایش شار) مشخص میکند؛ بزرگی جریان تابع نرخ تغییر میدان و ابعاد حلقه است.
جمعبندی متال
- منشأ: تغییر شار مغناطیسی → میدان الکتریکی حلقهوار.
- فرمول کلیدی: ∮ E⃗ · dl⃗ = - dΦB/dt
- بزرگی میدان: Etan(R) = - (B₀ R) / 2
- جریان القایی: Iind = ε / Rloop
- جهت: همیشه مخالف تغییر شار (اصل لنز).
```
اگر بخواهی، میتونم یک نسخه با B(t) غیرخطی (مثلاً سینوسی B(t) = Bₘ sin(ωt)) هم آماده کنم تا شکل زمانی ε و جریان القایی را ببینی.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.