مثالهای
از معادله پواسون و لاپلاس
مثال ۶: الکترواستاتیک در خازن صفحهای
بین دو صفحه رسانای موازی که به اختلاف پتانسیل ثابت وصل شدهاند، توزیع پتانسیل باید معادله لاپلاس را ارضا کند:
∇²φ = 0
نتیجه: میدان الکتریکی یکنواخت است و مقدار آن برابر است با:
E = V / d
مثال ۷: توزیع دما در میله با منبع گرما
یک میله فلزی با منبع گرمایی یکنواخت در طول آن را در نظر بگیرید. معادله انتقال حرارت پایدار به شکل پواسون نوشته میشود:
d²T/dx² = -q/k
حل این معادله نشان میدهد دما به صورت سهمی در طول میله تغییر میکند.
مثال ۸: پتانسیل الکتریکی در کره رسانا
داخل کره رسانا بدون بار: معادله لاپلاس برقرار است:
∇²φ = 0
خارج از کره با بار کل Q: معادله پواسون برقرار است و پتانسیل به صورت زیر خواهد بود:
φ(r) = Q / (4π ε₀ r)
🔹 نتیجه: خازن صفحهای نمونهای از معادله لاپلاس، میله با منبع گرما نمونهای از معادله پواسون، و کره رسانا ترکیبی از هر دو است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.