زیرشبکه‌ها

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه سیزدهم اردیبهشت ۱۴۰۴ | 20:27

زیرشبکه‌ها

زیرشبکه‌ای از یک شبکه $L$ زیرمجموعه ای از است $L$ این یک شبکه با همان عملیات اتصال و پیوند است که . $L.$ یعنی اگر، $L$ یک شبکه است و $M$ زیرمجموعه ای از است $L$ به طوری که برای هر جفت عنصر $a,b\in M$ هر دو $a\wedge b$ و $a\vee b$ در، $M,$ سپس $M$ یک زیرشبکه از است . $L.$ [ 3 ]

یک زیرشبکه $M$ از یک شبکه $L$ یک زیرشبکه محدب ازل، $L,$ اگر

$x\leq z\leq y$ و $x,y\in M$ دلالت دارد بر اینکه $z$ متعلق به ، $M,$ برای همه عناصر $x,y,z\in L.$

خواص شبکه‌ها

[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: نقشه شبکه‌ها

اکنون تعدادی از ویژگی‌های مهم را معرفی می‌کنیم که منجر به دسته‌های خاص و جالبی از مشبکه‌ها می‌شوند. یکی از آنها، کراندار بودن، قبلاً مورد بحث قرار گرفته است.

کامل بودن

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: شبکه کامل

یک مجموعه‌ی پوزِت، یک شبکه‌ی کامل نامیده می‌شود اگر تمام زیرمجموعه‌های آن هم محل اتصال و هم محل تلاقی داشته باشند. به طور خاص، هر شبکه‌ی کامل، یک شبکه‌ی کراندار است. در حالی که همریختی‌های شبکه‌ی کراندار به طور کلی فقط محل‌های اتصال و تلاقی متناهی را حفظ می‌کنند، همریختی‌های شبکه‌ی کامل برای حفظ محل‌های اتصال و تلاقی دلخواه مورد نیاز هستند.

هر مجموعه‌ی پوزه‌ای که یک نیم‌شبکه‌ی کامل باشد، یک شبکه‌ی کامل نیز هست. پدیده‌ی جالبی که در ارتباط با این نتیجه وجود دارد این است که بسته به اینکه آیا آنها به عنوان شبکه‌های کامل، نیم‌شبکه‌های اتصال کامل، نیم‌شبکه‌های تلاقی کامل یا شبکه‌های اتصال کامل یا تلاقی کامل دیده شوند، مفاهیم رقابتی مختلفی از همریختی برای این دسته از مجموعه‌های پوزه‌ای وجود دارد.

«شبکه جزئی» نقطه مقابل «شبکه کامل» نیست - بلکه «شبکه جزئی»، «شبکه» و «شبکه کامل» تعاریفی هستند که به طور فزاینده‌ای محدودکننده می‌شوند.

کامل بودن مشروط

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: Dedekind کامل است

یک شبکه کامل مشروط ، شبکه‌ای است که در آن هر زیرمجموعه غیرتهی که دارای یک حد بالا است ، یک اتصال (یعنی حداقل حد بالا) دارد. چنین شبکه‌هایی، مستقیم‌ترین تعمیم اصل کامل بودن اعداد حقیقی را ارائه می‌دهند . یک شبکه کامل مشروط یا یک شبکه کامل است، یا یک شبکه کامل بدون عنصر حداکثر آن. $1,$ حداقل عنصر آن $0,$ یا هر دو. [ 4 ] [ 5 ]

توزیع‌پذیری

[ ویرایش ]

شکل ۱۱: کوچکترین شبکه غیر مدولار (و بنابراین غیر توزیعی) N 5 .

$b\leq c$ ، ام

$b\vee (a\wedge c)=b$

و $(b\vee a)\wedge c=c$ ، بنابراین قانون مدولار نقض می‌شود.
عناصر برچسب‌گذاری شده همچنین معادله توزیع‌پذیری را نقض می‌کنند

$c\wedge (a\vee b)=(c\wedge a)\vee (c\wedge b),$ اما دوگانه‌اش را برآورده کند

$c\vee(a\wedge b)=(c\vee a)\wedge(c\vee b).$

شکل 10: کوچکترین شبکه غیر توزیعی (اما مدولار) M3 .

مقاله اصلی: شبکه توزیعی

از آنجایی که مشبکه‌ها با دو عمل دوتایی همراه هستند، طبیعی است که بپرسیم آیا یکی از آنها بر دیگری توزیع می‌شود ، یعنی آیا یکی از قوانین دوگانه زیر برای هر سه عنصر برقرار است یا خیر.

$a,b,c\in L,$ :

توزیع‌پذیری $\vee$ بیش از $\wedge$

$a\vee(b\wedge c)=(a\vee b)\wedge(a\vee c).$

توزیع‌پذیری $\wedge$ بیش از $\vee$

$a\wedge (b\vee c)=(a\wedge b)\vee (a\wedge c).$

شبکه‌ای که اصل اول یا، به طور معادل (همانطور که مشخص شد)، اصل دوم را برآورده می‌کند، شبکه توزیعی نامیده می‌شود . تنها شبکه‌های غیر توزیعی با کمتر از 6 عنصر، M3 و N5 نامیده می‌شوند ؛ [ 6 ] که به ترتیب در تصاویر 10 و 11 نشان داده شده‌اند. یک شبکه توزیعی است اگر و تنها اگر زیرشبکه‌ای ایزومورفیک با M3 یا N5 نداشته باشد . [ 7 ] هر شبکه توزیعی با یک شبکه از مجموعه‌ها ایزومورفیک است (که اجتماع و اشتراک به ترتیب به عنوان اتصال و تلاقی هستند). [ 8 ]

برای مرور کلی مفاهیم قوی‌تر توزیع‌پذیری که برای مشبکه‌های کامل مناسب هستند و برای تعریف کلاس‌های خاص‌تر مشبکه‌ها مانند قاب‌ها و مشبکه‌های کاملاً توزیع‌پذیر استفاده می‌شوند ، به توزیع‌پذیری در نظریه ترتیب مراجعه کنید .

ماژولاریتی

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: شبکه مدولار

برای برخی کاربردها، شرط توزیع‌پذیری بیش از حد قوی است و ویژگی ضعیف‌تر زیر اغلب مفید است. یک شبکه

$(L,\vee,\wedge)$ مدولار است اگر، برای همه عناصر

$a,b,c\in L,$ هویت زیر برقرار است:

$(a\wedge c)\vee (b\wedge c)=((a\wedge c)\vee b)\wedge c.$ ( هویت مدولار )
این شرط معادل اصل زیر است:

$a\leq c$ دلالت دارد بر

$a\vee (b\wedge c)=(a\vee b)\wedge c.$ ( قانون پیمانه‌ای ) یک شبکه پیمانه‌ای است اگر و تنها اگر زیرشبکه‌ای هم‌ریخت با N5 نداشته
باشد (در شکل 11 نشان داده شده است). [ 7 ] علاوه بر شبکه‌های توزیعی، نمونه‌هایی از شبکه‌های پیمانه‌ای عبارتند از شبکه زیرمدول‌های یک ماژول (از این رو پیمانه‌ای )، شبکه ایده‌آل‌های دوطرفه یک حلقه ، و شبکه زیرگروه‌های نرمال یک گروه . مجموعه عبارات مرتبه اول با ترتیب «خاص‌تر از» یک شبکه غیر پیمانه‌ای است که در استدلال خودکار استفاده می‌شود .

نیمه‌مدولار بودن

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: شبکه نیم‌مدولی

یک شبکه متناهی مدولار است اگر و تنها اگر هم نیم‌مدولار بالایی و هم نیم‌مدولار پایینی باشد . برای یک شبکه مدرج، نیم‌مدولار بودن (بالایی) معادل شرط زیر روی تابع رتبه است $r\colon$

$r(x)+r(y)\geq r(x\wedge y)+r(x\vee y).$

شرط معادل دیگر (برای مشبکه‌های مدرج) شرط بیرکهوف است:

برای هر کدام

$x$ و $y$ ، $L,$ اگر $x$ و $y$ هر دو پوشش

$x\wedge y,$ سپس

$x\vee y$ هر دو را پوشش می‌دهد

$x$ و $y.$

یک شبکه، نیم‌مدولار پایینی نامیده می‌شود اگر دوگان آن نیم‌مدولار باشد. برای شبکه‌های متناهی، این بدان معناست که شرایط قبلی با $\vee$ و $\wedge$ مبادله شد، «پوشش می‌دهد» با «پوشانده می‌شود توسط» مبادله شد، و نابرابری‌ها معکوس شدند. [ 9 ]

پیوستگی و جبر

[ ویرایش ]

در نظریه دامنه ، طبیعی است که به دنبال تقریب عناصر در یک مرتبه جزئی با عناصر "بسیار ساده‌تر" باشیم. این منجر به کلاس پوزت‌های پیوسته می‌شود که شامل پوزت‌هایی است که در آن‌ها هر عنصر را می‌توان به عنوان سوپریمم یک مجموعه جهت‌دار از عناصری که بسیار پایین‌تر از عنصر هستند، بدست آورد. اگر بتوان این موارد را به عناصر فشرده یک پوزت برای بدست آوردن این مجموعه‌های جهت‌دار محدود کرد، آنگاه پوزت حتی جبری نیز خواهد بود . هر دو مفهوم را می‌توان به صورت زیر برای مشبکه‌ها اعمال کرد:

یک شبکه پیوسته ، یک شبکه کامل است که به عنوان یک مجموعه مثبت پیوسته است.
یک شبکه جبری، یک شبکه کامل است که به عنوان یک مجموعه مقسوم علیه جبری است.

هر دوی این کلاس‌ها ویژگی‌های جالبی دارند. برای مثال، شبکه‌های پیوسته را می‌توان به عنوان ساختارهای جبری (با عملیات نامتناهی) که هویت‌های خاصی را برآورده می‌کنند، توصیف کرد. اگرچه چنین توصیفی برای شبکه‌های جبری شناخته شده نیست، اما می‌توان آنها را از طریق سیستم‌های اطلاعاتی اسکات به صورت «نحوی» توصیف کرد .

مکمل‌ها و شبه مکمل‌ها

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: شبه‌مکمل

بگذارید $L$ یک شبکه کراندار با بزرگترین عنصر ۱ و کوچکترین عنصر ۰ باشد. دو عنصر

$x$ و $y$ از $L$ مکمل یکدیگرند اگر و تنها اگر:

$x\vee y=1\quad {\text{ و }}\quad x\wedge y=0.$

به طور کلی، برخی از عناصر یک شبکه کراندار ممکن است مکمل نداشته باشند و برخی دیگر ممکن است بیش از یک مکمل داشته باشند. به عنوان مثال، مجموعه

$\{0,1/2,1\}$ با ترتیب معمول خود، یک شبکه کراندار است، و ${\tfrac {1}{2}}$ مکمل ندارد. در شبکه محدود N5 ، عنصر $a$ دو مکمل دارد، یعنی. $b$ و $c$ (به شکل ۱۱ مراجعه کنید). یک شبکه کراندار که در آن هر عنصر یک مکمل دارد، شبکه متمم نامیده می‌شود .

یک شبکه متمم که توزیع‌پذیر نیز باشد، یک جبر بولی است . برای یک شبکه توزیع‌پذیر، متممِ ، $x,$ وقتی وجود دارد، منحصر به فرد است.

در صورتی که مکمل منحصر به فرد باشد، می‌نویسیم

${\textstyle \lنه x=y}$ و به طور معادل،

${\textstyle \lنه y=x.}$ عملیات یگانی مربوطه روی $L,$ که مکمل‌سازی نامیده می‌شود، معادلی از نفی منطقی را در نظریه شبکه معرفی می‌کند.

جبرهای هیتینگ نمونه‌ای از شبکه‌های توزیعی هستند که در آن‌ها برخی از اعضا ممکن است فاقد مکمل باشند. هر عنصرز $z$ از سوی دیگر، جبر هیتینگ دارای یک شبه مکمل است که با نیز نشان داده می‌شود.. ${\textstyle \lنه x.}$ شبه مکمل بزرگترین عنصر است $y$ به طوری که

$x\wedge y=0.$ اگر شبه‌مکمل هر عنصر از جبر هیتینگ در واقع یک مکمل باشد، آنگاه جبر هیتینگ در واقع یک جبر بولی است.

شرط زنجیره جردن-ددکیند

[ ویرایش ]

زنجیری از $x_{0}$ به

$x_{n}$ یک مجموعه است

$\left\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}\right\},$ که

$x_{0}}x_{1}x_{2} ldots <x_{n}.$ طول این زنجیره n یا یکی کمتر از تعداد عناصر آن است. یک زنجیره حداکثر است اگر

$x_{i}$ پوشش‌ها

$x_{i-1}$ برای همه

$1\leq i\leq n.$

اگر برای هر جفتی، $x$ و، $y,$ که

$x<y,$ تمام زنجیره‌های حداکثری از $x$ به $y$ طول یکسانی داشته باشند، گفته می‌شود که شبکه، شرط زنجیره جردن-ددکیند را برآورده می‌کند .

درجه‌بندی‌شده/رتبه‌بندی‌شده

[ ویرایش ]

یک شبکه

$(L,\leq)$ اگر بتوان آن را به یک تابع رتبه‌بندی مجهز کرد، درجه‌بندی‌شده (graded ) و گاهی رتبه‌بندی‌شده (ranked ) نامیده می‌شود (اما برای معنای جایگزین به مجموعه‌جمله‌های رتبه‌بندی‌شده مراجعه کنید). $r:L\to \mathbb {N}$ گاهی اوقات به

$\mathbb {Z}$ ، سازگار با سفارش (بنابراین

$r(x)<r(y)$ هر زمان که

$x<y$ ) به طوری که هر زمانی $y$ پوشش‌ها اینست

، $x,$ سپس

$r(y)=r(x)+1.$ مقدار تابع رتبه برای یک عنصر شبکه، رتبه آن عنصر نامیده می‌شود .

یک عنصر شبکه‌ای $y$ گفته می‌شود که عنصر دیگری را پوشش می‌دهد

$x,$ اگر

$y>x,$ اما وجود نداردز $z$ به طوری که

$y>z>x$ اینجا،

$y>x$ یعنی

$x\leq y$ و

$x\neq y.$

شبکه های ازاد

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: شبکه آزاد

هر مجموعه ای $X$ ممکن است برای تولید نیم‌شبکه آزاد استفاده شود . $FX.$ نیم‌شبکه آزاد به گونه‌ای تعریف می‌شود که شامل تمام زیرمجموعه‌های متناهی از. ، $X,$ با عملگر نیم‌شبکه‌ای که توسط اجتماع مجموعه‌های معمولی داده می‌شود . نیم‌شبکه آزاد خاصیت جهانی دارد . برای شبکه آزاد روی یک مجموعه ، $X,$ ویتمن ساختاری مبتنی بر چندجمله‌ای‌ها ارائه داد. $X$ اعضای [ 10 ] [ 11 ]

مفاهیم مهم نظریه شبکه

[ ویرایش ]

اکنون برخی از مفاهیم نظریه نظم که برای نظریه شبکه مهم هستند را تعریف می‌کنیم. در ادامه، اجازه دهید $x$ عنصری از یک شبکه باشد $L.$ $x$ نامیده می‌شود:

اگر به صورت غیرقابل تقلیل بپیوندید. $x=a\vee b$ دلالت دارد بر $x=a{\text{ یا }}x=b.$ برای همه $a,b\in L.$ اگر $L$ دارای یک عنصر پایینی0، $0,$ برخی از نویسندگان نیاز دارند $x\neq 0$ [ 12 ] وقتی شرط اول به پیوندهای دلخواه تعمیم داده می‌شود
$\bigvee _{i\in I}a_{i},$ $x$ کاملاً به هم پیوسته و غیرقابل تقلیل (یا) نامیده می‌شود .∨ $\vee$ -کاهش‌ناپذیری). مفهوم دوگانه، کاهش‌ناپذیری () است. $\wedge$ -کاهش‌ناپذیر). برای مثال، در شکل ۲، عناصر ۲، ۳، ۴ و ۵ کاهش‌ناپذیر به هم پیوسته هستند، در حالی که ۱۲، ۱۵، ۲۰ و ۳۰ کاهش‌ناپذیر به هم پیوسته هستند. بسته به تعریف، عنصر پایینی ۱ و عنصر بالایی ۶۰ ممکن است به ترتیب کاهش‌ناپذیر به هم پیوسته و کاهش‌ناپذیر به هم پیوسته در نظر گرفته شوند یا نشوند. در شبکه اعداد حقیقی با ترتیب معمول، هر عنصر کاهش‌ناپذیر به هم پیوسته است، اما هیچ‌کدام کاملاً کاهش‌ناپذیر به هم پیوسته نیستند.
اگر به پرایم بپیوندید $x\leq a\vee b$ دلالت دارد بر

بگذارید $L$ $x$ ازل $L$ یک اتم است اگر $0<x$ و هیچ عنصری وجود ندارد $y\in L$ به طوری که

$0<y<x.$ سپس $L$ نامیده می‌شود:

اتمی اگر برای هر عنصر غیر صفرایکس $x$ ازل، $L,$ یک اتم وجود دارد $a$ از $L$ به طوری که $a\leq x;$ [ 14 ]
اگر هر عنصر از اتمیسم $L$ یک سوپریمم از اتم‌ها است . [ 15 ]

با این حال، بسیاری از منابع و جوامع ریاضی از اصطلاح "اتمی" به معنای "اتمیستی" همانطور که در بالا تعریف شد، استفاده می‌کنند. [ نیازمند منبع ]

مفاهیم ایده‌آل‌ها و مفهوم دوگانه فیلترها به انواع خاصی از زیرمجموعه‌های یک مجموعه مرتب جزئی اشاره دارند و بنابراین برای نظریه شبکه مهم هستند. جزئیات را می‌توانید در مدخل‌های مربوطه بیابید.

همچنین ببینید

[ ویرایش ]

پیوستن و ملاقات - مفهوم نظریه ترتیب
نقشه شبکه‌ها - مفهومی در ریاضیات
شبکه متمم قائم
ترتیب کامل - ترتیبی که همه عناصر آن قابل مقایسه هستند
ایده‌آل – زیرمجموعه و فیلتر غیرتهی، کران بالا، رو به پایین بسته (مفاهیم دوگانه)
شبکه مورب - ساختار جبری (تعمیم به اتصال و تلاقی غیرجابجایی)
شبکه اویلری
شبکه پست - شبکه‌ای از تمام کلون‌ها (مجموعه‌هایی از رابط‌های منطقی که تحت ترکیب بسته شده‌اند و شامل تمام تصویرها هستند) روی یک مجموعه دو عنصری {0، 1}، که بر اساس شمول مرتب شده‌اند
شبکه تاماری - شیء ریاضی که با ترتیبی در نحوه پرانتزگذاری یک عبارت تشکیل می‌شود
شبکه یانگ-فیبوناچی
شبکه ساده ۰،۱

کاربردهایی که از نظریه شبکه استفاده می‌کنند

[ ویرایش ]

این مقاله به صورت فهرست است، اما ممکن است به صورت نثر بهتر خوانده شود . در صورت لزوم، می‌توانید با تبدیل این مقاله به ما کمک کنید . راهنمای ویرایش در دسترس است. ( مارس ۲۰۱۷ )

توجه داشته باشید که در بسیاری از کاربردها، مجموعه‌ها فقط مشبکه‌های جزئی هستند: هر جفت از عناصر دارای تلاقی یا اتصال نیستند.

https://en.wikipedia.org/wiki/Lattice_(order)

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

زیرشبکه‌ها

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین