شار و واگرایی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دهم اردیبهشت ۱۴۰۴ | 3:19

هم‌ارزی فرمول‌بندی‌های دیفرانسیلی و انتگرالی، نتیجه‌ای از قضیه واگرایی گاوس و قضیه کلوین-استوکس است .

شار و واگرایی

حجم Ω و مرز بسته آن ∂Ω ، که به ترتیب شامل (در برگیرنده) یک منبع (+) و یک چاهک (-) از یک میدان برداری F است . در اینجا، F می‌تواند میدان E با بارهای الکتریکی منبع باشد، اما میدان B که همانطور که نشان داده شده است، هیچ بار مغناطیسی ندارد، نمی‌تواند باشد. واحد عمود به سمت بیرون n است .

طبق قضیه (صرفاً ریاضی) واگرایی گاوس ، شار الکتریکی عبوری از سطح مرزی ∂Ω را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

$\oiint$ ${\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {E} \,\mathrm {d$

بنابراین، نسخه انتگرالی معادله گاوس را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد

$\iiint _{\Omega }\left(\nabla \cdot \mathbf {E} -{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\right)\,\mathrm {d} V=0$

از آنجایی که Ω دلخواه است (مثلاً یک توپ کوچک دلخواه با مرکز دلخواه)، این شرط برقرار است اگر و تنها اگر انتگرال در همه جا صفر باشد. این فرمول‌بندی معادلات دیفرانسیل معادله گاوس تا یک بازآرایی جزئی است.

به طور مشابه، با بازنویسی شار مغناطیسی در قانون گاوس برای مغناطیس به شکل انتگرالی، داریم:

$\oiint$ ${\displaystyle {\vphantom {\oint }}_{\scriptstyle \partial \Omega }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\nabla \cdot \mathbf {B} \,\mathrm {0} V=.$

که برای همه Ω برقرار است اگر و تنها اگر $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$ همه جا.

گردش و حلقه

[ ویرایش ]

سطح Σ با مرز بسته ∂Σ . F می‌تواند میدان‌های E یا B باشد . باز هم، n واحد نرمال است . (کرل یک میدان برداری به معنای واقعی کلمه شبیه "گردش‌ها" نیست، این یک تصویر ابتکاری است.)

با استفاده از قضیه کلوین-استوکس می‌توانیم انتگرال‌های خطی میدان‌ها حول منحنی مرز بسته ∂Σ را به انتگرالی از «گردش میدان‌ها» (یعنی فرهای آنها ) روی سطحی که منحنی آن را محدود می‌کند، بازنویسی کنیم، یعنی

${\displaystyle \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\iint _{\Sigma }(\nabla \times \mathbf {B} )\cdot \mathrm {d} \mathbf} {S$

از این رو، قانون آمپر-ماکسول ، نسخه اصلاح‌شده قانون مداری آمپر، به شکل انتگرالی را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

${\displaystyle \iint _{\Sigma }\left(\nabla \times \mathbf {B} -\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\math){0}\right)\math)\cdot$

از آنجایی که Σ می‌تواند به صورت دلخواه انتخاب شود، مثلاً به عنوان یک دیسک دلخواه کوچک، با جهت دلخواه و با مرکز دلخواه، نتیجه می‌گیریم که انتگرال صفر است اگر و تنها اگر قانون آمپر-ماکسول در فرم معادلات دیفرانسیل برقرار باشد. هم‌ارزی قانون فارادی در فرم دیفرانسیل و انتگرال نیز به همین ترتیب دنبال می‌شود.

انتگرال‌های خطی و کرل‌ها مشابه کمیت‌هایی در دینامیک سیالات کلاسیک هستند : گردش یک سیال، انتگرال خطی میدان سرعت جریان سیال در اطراف یک حلقه بسته است و گردابه سیال، کرل میدان سرعت است.

https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی