7-تبدیل‌های لورنتس

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه نهم دی ۱۴۰۳ | 8:13

جبر دروغ بنابراین (3،1)

ژنراتورهای لورنتس را می توان با هم جمع کرد یا در اعداد واقعی ضرب کرد تا ژنراتورهای لورنتس بیشتری بدست آید. به عبارت دیگر مجموعه تمام ژنراتورهای لورنتس $V=\{{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \}$ همراه با عملیات جمع ماتریس معمولی و ضرب یک ماتریس در یک عدد ، فضای برداری را روی اعداد واقعی تشکیل می دهد. [ nb 7 ] ژنراتورهای J x , J y , J z , Kx , K y , Kz مجموعه پایه ای از V را تشکیل می دهند و اجزای بردارهای محور-زاویه و سرعت، θ x ، θ y ، θ z. , ζ x , ζ y , ζ z مختصات یک ژنراتور لورنتس با توجه به این مبنا هستند . [ nb 8 ]

سه تا از روابط کموتاسیون ژنراتورهای لورنتس عبارتند از

$[J_{x},J_{y}]=J_{z}\,,\quad [K_{x},K_{y}]=-J_{z}\,,\quad [J_{x },K_{y}]=K_{z}\,,$ که در آن براکت [ A , B ] = AB - BA به عنوان جابجایی شناخته می شود ، و سایر روابط را می توان با گرفتن جایگشت های حلقوی اجزای x، y، z پیدا کرد (یعنی x را به y، y به z، و z را به z به تغییر دهید. x، تکرار کنید).

این روابط کموتاسیون، و فضای برداری مولدها، تعریف جبر دروغ را برآورده می کند. سo(3،1) ${\mathfrak {so}}(3،1)$ . به طور خلاصه، جبر دروغ به عنوان یک فضای برداری V بر روی یک میدان اعداد تعریف می شود، و با یک عملیات دودویی [ , ] (که در این زمینه یک براکت Lie نامیده می شود ) روی عناصر فضای برداری، که بدیهیات دوخطی بودن را برآورده می کند، تعریف می شود . تناوب و هویت ژاکوبی در اینجا عملیات [ , ] جابه‌جایی است که همه این بدیهیات را برآورده می‌کند، فضای برداری مجموعه ژنراتورهای لورنتس V همانطور که قبلا داده شد، و فیلد مجموعه اعداد واقعی است.

پیوند اصطلاحات مورد استفاده در ریاضیات و فیزیک: مولد گروه هر عنصر جبر دروغ است. یک پارامتر گروه جزء یک بردار مختصات است که یک عنصر دلخواه از جبر Lie را با توجه به برخی مبنا نشان می دهد. بنابراین، یک پایه مجموعه ای از مولدها است که اساس جبر دروغ به معنای فضای برداری معمول است.

نقشه نمایی از جبر دروغ تا گروه دروغ،انقضا:سo(3،1)→اسO(3،1)، $\exp \,:\,{\mathfrak {so}}(3,1)\to \mathrm {SO} (3,1),$ یک تناظر یک به یک بین محله های به اندازه کافی کوچک مبدأ جبر دروغ و محله های عنصر هویت گروه Lie فراهم می کند. در مورد گروه لورنتس، نقشه نمایی فقط ماتریس نمایی است . در سطح جهانی، نقشه نمایی یک به یک نیست، اما در مورد گروه لورنتز، آن سوجکتیو (روشن) است. از این رو هر عنصر گروهی در جزء متصل هویت را می توان به صورت نمایی از یک عنصر جبر دروغ بیان کرد.

تبدیل‌های نادرست

[ ویرایش ]

تبدیل‌های لورنتس شامل وارونگی برابری نیز می‌شود $P={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\mathbf {I} \end{bmatrix}}$ که فقط تمام مختصات مکانی و معکوس زمانی را نفی می کند

$T={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}$ که فقط مختصات زمان را نفی می کند، زیرا این تبدیل ها بازه فضازمان را ثابت می گذارند. در اینجا من ماتریس هویت سه بعدی است . اینها هر دو متقارن هستند، معکوس خودشان هستند (نگاه کنید به چرخش (ریاضیات) )، و هر کدام دارای 1- تعیین کننده هستند. این خاصیت اخیر آنها را تبدیل های نامناسب می کند.

اگر Λ یک تبدیل لورنتز متعامد مناسب باشد، T Λ آنتی‌کرون نامناسب، P Λ متعامد نامناسب، و TP Λ = PT Λ آنتی‌کرون مناسب است.

گروه لورنتس ناهمگن

[ ویرایش ]

دو تقارن فضازمان دیگر به حساب نیامده اند. برای اینکه بازه فضازمان ثابت باشد، می توان نشان داد [ 23 ] که لازم و کافی است که تبدیل مختصات به شکل باشد. $X'=\Lambda X+C$ که در آن C یک ستون ثابت است که حاوی ترجمه در زمان و مکان است. اگر C ≠ 0 باشد، این تبدیل ناهمگن لورنتس یا تبدیل پوانکاره است . [ 24 ] [ 25 ] اگر C = 0 باشد، این یک تبدیل لورنتس همگن است . تبدیل پوانکاره در این مقاله بیشتر مورد بررسی قرار نمی گیرد.

فرمولاسیون تانسور

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه بازنمایی گروه لورنتس

برای نماد استفاده شده، حساب ریچی را ببینید .

بردارهای متناقض

[ ویرایش ]

نوشتن تبدیل ماتریس کلی مختصات به عنوان معادله ماتریس

${\begin{bmatrix}{x'}^{0}\\{x'}^{1}\\{x'}^{2}\\{x'}^{3}\end{ bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\Lambda ^{0}}_{0}&{\Lambda ^{0}}_{1}&{\Lambda ^{0}}_{2}&{\Lambda ^{0}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{1}}_{0} &{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}&{\Lambda ^{1}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{2}}_{0}&{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}}_{2 }&{\Lambda ^{2}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\{\Lambda ^{3}}_{0}&{\Lambda ^{3}}_{1}&{\Lambda ^{3}}_{2}&{\Lambda ^{3}}_{3}{\vphantom {{x'}^{0}}}\ \\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{1}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{2}{\vphantom {{x'}^{0}}}\\x^{3}{\vphantom {{x'}^{0 }}}\end{bmatrix}}$

اجازه می دهد تا مقادیر فیزیکی دیگر را که نمی توان به صورت چهار بردار بیان کرد، تبدیل کرد. به عنوان مثال، تانسورها یا اسپینورهای هر مرتبه در فضازمان 4 بعدی، باید تعریف شوند. در نماد شاخص تانسور مربوطه ، عبارت ماتریس بالا استx"ν=Λνμxμ، ${x'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }x^{\mu },$

جایی که شاخص‌های پایین‌تر و بالایی به ترتیب مولفه‌های کوواریانس و متضاد را برچسب‌گذاری می‌کنند ، [ 26 ] و قرارداد جمع اعمال می‌شود. این یک قرارداد استاندارد است که از شاخص‌های یونانی استفاده شود که مقدار 0 را برای مؤلفه‌های زمانی و 1، 2، 3 را برای مؤلفه‌های فضایی می‌گیرند، در حالی که شاخص‌های لاتین به سادگی مقادیر 1، 2، 3 را برای مؤلفه‌های فضایی می‌گیرند (برعکس برای لاندو و لیفشیتز). توجه داشته باشید که اولین شاخص (خواندن از چپ به راست) در نماد ماتریس با یک شاخص ردیف مطابقت دارد . شاخص دوم مربوط به شاخص ستون است.

ماتریس تبدیل برای همه بردارهای چهارگانه جهانی است ، نه فقط مختصات فضازمان 4 بعدی. اگر A هر چهار بردار باشد، در نماد شاخص تانسور

${A'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }A^{\mu }\,.$

از طرف دیگر، یکی می نویسد

$A^{\nu '}={\Lambda ^{\nu '}}_{\mu }A^{\mu }\,.$ که در آن شاخص های اولیه نشان دهنده شاخص های A در قاب اولیه هستند. برای یک شیء با n جزء عمومی می توان نوشت

${X'}^{\alpha }={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }X^{\beta }\,,$ که در آن Π نمایش مناسب گروه لورنتس است ، یک ماتریس n × n برای هر Λ . در این مورد، شاخص ها را نباید به عنوان شاخص های فضازمان (که گاهی اوقات شاخص های لورنتس نامیده می شود) در نظر گرفت و از 1 تا n اجرا می شوند . به عنوان مثال، اگر X یک bispinor است ، آنگاه شاخص ها را شاخص دیراک می نامند .

بردارهای کوواریانس

[ ویرایش ]

کمیت های برداری با شاخص های کوواریانس نیز وجود دارد. آنها به طور کلی از اشیاء متناظر با شاخص های متناقض با عملیات کاهش یک شاخص به دست می آیند . به عنوان مثال $x_{\nu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu },$ که در آن η تانسور متریک است . (مقاله پیوندی همچنین اطلاعات بیشتری در مورد اینکه عمل افزایش و کاهش شاخص ها واقعاً از نظر ریاضی چیست، ارائه می دهد.) معکوس این تبدیل توسط

$x^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }x_{\nu },$ زمانی که به عنوان ماتریس در نظر گرفته شود، η μν معکوس η μν است . همانطور که اتفاق می افتد،

η μν = η μν . از این به عنوان افزایش شاخص یاد می شود . برای تبدیل یک بردار کوواریانت A μ ، ابتدا شاخص آن را افزایش دهید، سپس آن را مطابق قانون بردارهای 4 -متضاد تبدیل کنید ، سپس در نهایت شاخص را کاهش دهید.

${A'}_{\nu }=\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }A_{\mu } .$

$\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }={\left(\Lambda ^{-1}\right) ^{\mu }}_{\nu }،$

یعنی مولفه ( μ , ν ) - تبدیل معکوس لورنتس است. یکی تعریف می کند (به عنوان یک علامت گذاری ${\Lambda _{\nu }}^{\mu }\equiv {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },$ و ممکن است در این نماد بنویسد ${A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }.$

حالا برای یک ظرافت. جمع ضمنی در سمت راست ${A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\ mu }}_{\nu }A_{\mu }$ در حال اجرا بر روی یک شاخص ردیفی از ماتریس است که نشان دهنده Λ -1 است . بنابراین، از نظر ماتریس، این تبدیل باید به عنوان جابجایی معکوس Λ که بر بردار ستون A μ عمل می کند در نظر گرفته شود . یعنی در نماد ماتریسی خالص $A'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A.$

این دقیقاً به این معنی است که بردارهای کوواریانت (که به عنوان ماتریس های ستونی در نظر گرفته می شوند) مطابق با نمایش دوگانه نمایش استاندارد گروه لورنتس تغییر می کنند. این مفهوم به نمایش های کلی تعمیم می یابد، به سادگی Λ را با Π(Λ) جایگزین کنید .

تانسورها

[ ویرایش ]

اگر A و B عملگرهای خطی در فضاهای برداری U و V باشند، در آن صورت ممکن است یک عملگر خطی A⊗ B بر روی حاصل ضرب تانسور U و V تعریف شود که مطابق [ 27 ] U ⊗ V نشان داده می شود .

$(A\otimes B)(u\otimes v)=Au\otimes Bv,\qquad u\in U,v\in V,u\otimes v\in U\otimes V.$ (T1)

از اینجا بلافاصله مشخص می شود که اگر u و v چهار بردار در V باشند ، آنگاه u ⊗ v ∈ T 2 V ≡ V ⊗ V به صورت

$u\otimes v\rightarrow \Lambda u\otimes \Lambda v={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }u^{\nu }\otimes {\Lambda ^{\rho }}_ {\sigma }v^{\sigma }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }u^{\nu }\otimes v^{\sigma }\equiv {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\Lambda ^{\rho }} _{\sigma }w^{\nu \sigma }.$ (T2)

مرحله دوم از دوخطی بودن حاصلضرب تانسور استفاده می کند و مرحله آخر یک تانسور 2 بر روی فرم جزء تعریف می کند، یا بهتر است بگوییم، فقط نام تانسور u ⊗ v را تغییر می دهد .

این مشاهدات به روشی آشکار به عوامل بیشتری تعمیم می‌یابند، و با استفاده از این واقعیت که یک تانسور کلی در فضای برداری V را می‌توان به صورت مجموع ضریب (مولفه!) ضربدر حاصلضرب تانسور بردارهای پایه و بردارهای پایه نوشت، به این نتیجه می‌رسیم. قانون تبدیل برای هر کمیت تانسوری T. توسط [ 28 ] ارائه شده است

$T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}={\Lambda ^{\alpha '}}_{\mu }{\Lambda ^{\beta '}}_{\nu }\cdots {\Lambda ^{\zeta '}}_{\rho }{\Lambda _{\theta '}}^{\sigma }{\Lambda _{\iota '}}^{\upsilon }\cdots {\Lambda _{\kappa '}}}^{\zeta }T_{\sigma \upsilon \cdots \zeta }^{\mu \nu \cdots \rho }،$ (T3)

جایی که Λ χ' ψ در بالا تعریف شده است. این شکل عموماً می‌تواند به شکلی که برای اشیاء n جزء عمومی ارائه شده در بالا با یک ماتریس منفرد ( Π(Λ) ) که بر روی بردارهای ستونی کار می‌کند کاهش یابد. گاهی اوقات این شکل اخیر ترجیح داده می شود. به عنوان مثال، برای تانسور میدان الکترومغناطیسی.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی