2-براکت دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه نهم آذر ۱۴۰۳ | 9:37

شرایط سازگاری

[ ویرایش ]

معادلات حرکت با استفاده از براکت پواسون فشرده تر می شوند، زیرا اگر f تابعی از مختصات و لحظه باشد، آنگاه

${\dot {f}}\approx \{f,H^{*}\}_{PB}\approx \{f,H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k }\{f,\phi _{k}\}_{PB},$

اگر فرض کنیم که براکت پواسون با u k (توابع سرعت) وجود دارد. این مشکلی ایجاد نمی کند زیرا مشارکت ضعیف ناپدید می شود. حال، برخی شرایط سازگاری وجود دارد که باید رعایت شود تا این فرمالیسم معنا پیدا کند. اگر قرار است قیود برآورده شوند، معادلات حرکت آنها باید ضعیف ناپدید شوند، یعنی ما نیاز داریم

${\dot {\phi _{j}}}\approx \{\phi _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{ j}،\phi _{k}\}_{PB}\تقریباً 0.$

چهار نوع شرایط مختلف وجود دارد که می تواند ناشی از موارد فوق باشد:

معادله ای که ذاتاً نادرست است، مانند 1=0 .
معادله ای که احتمالاً پس از استفاده از یکی از قیودهای اولیه ما به طور یکسان درست است.
معادله‌ای که محدودیت‌های جدیدی را برای مختصات و ممان ما ایجاد می‌کند، اما مستقل از u k است .
معادله ای که برای مشخص کردن u k استفاده می شود .

حالت اول نشان می دهد که لاگرانژ شروع کننده معادلات حرکتی ناسازگاری مانند L = q را به دست می دهد . مورد دوم چیز جدیدی ارائه نمی دهد.

مورد سوم محدودیت های جدیدی در فضای فاز می دهد. محدودیتی که به این روش به دست می آید، محدودیت ثانویه نامیده می شود . پس از یافتن محدودیت ثانویه، باید آن را به همیلتونین توسعه یافته اضافه کرد و شرایط سازگاری جدید را بررسی کرد، که ممکن است منجر به محدودیت‌های بیشتر شود. این فرآیند را تا زمانی که دیگر محدودیتی وجود نداشته باشد تکرار کنید. تمایز بین محدودیت های اولیه و ثانویه تا حد زیادی یک تمایز مصنوعی است (یعنی یک محدودیت برای یک سیستم بسته به لاگرانژی می تواند اولیه یا ثانویه باشد)، بنابراین این مقاله از اینجا به بعد بین آنها تمایز قائل نمی شود. با فرض اینکه شرط سازگاری تکرار شده است تا زمانی که همه محدودیت ها پیدا شوند، ϕ j همه آنها را نمایه می کند. توجه داشته باشید که این مقاله از محدودیت ثانویه به معنای هر محدودیتی استفاده می کند که در ابتدا در مسئله نبوده یا از تعریف لحظه متعارف مشتق شده است. برخی از نویسندگان بین محدودیت‌های ثانویه، محدودیت‌های سوم و غیره تمایز قائل می‌شوند.

در نهایت، مورد آخر به رفع u k کمک می کند . اگر در پایان این فرآیند، u k به طور کامل تعیین نشود، به این معنی است که درجات آزادی غیرفیزیکی (سنج) در سیستم وجود دارد. هنگامی که همه قیودها (اولیه و ثانویه) به همیلتونی ساده اضافه می‌شوند و راه‌حل‌های شرایط سازگاری برای u k وصل می‌شوند، نتیجه همیلتونین کل نامیده می‌شود .

تعیین u k

[ ویرایش ]

u k باید مجموعه ای از معادلات خطی ناهمگن فرم را حل کند

$\{\phi _{j},H\}_{PB}+\sum _{k}u_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB }\حدود 0.$

معادله فوق باید حداقل یک راه حل داشته باشد، زیرا در غیر این صورت لاگرانژ اولیه ناسازگار است. با این حال، در سیستم هایی با درجه آزادی سنج، راه حل منحصر به فرد نخواهد بود. کلی ترین راه حل از نوع است

$u_{k}=U_{k}+V_{k}،$

که در آن U k یک راه حل خاص و V k کلی ترین راه حل برای معادله همگن است

$\sum _{k}V_{k}\{\phi _{j},\phi _{k}\}_{PB}\تقریباً 0.$

کلی ترین راه حل، ترکیب خطی راه حل های مستقل خطی برای معادله همگن فوق خواهد بود. تعداد راه حل های مستقل خطی برابر است با تعداد u k (که همان تعداد محدودیت ها است) منهای تعداد شرایط سازگاری نوع چهارم (در بخش فرعی قبلی). این تعداد درجات غیر فیزیکی آزادی در سیستم است. برچسب گذاری راه حل های مستقل خطی V k a که در آن شاخص a از 1 تا تعداد درجات آزادی غیر فیزیکی است، راه حل کلی برای شرایط سازگاری به شکل است.

$u_{k}\approx U_{k}+\sum _{a}v_{a}V_{k}^{a}،$

جایی که $v_{a}$ توابع کاملاً دلخواه زمان هستند. انتخابی متفاوت از $v_{a}$ مربوط به تبدیل گیج است و باید وضعیت فیزیکی سیستم را بدون تغییر باقی بگذارد. [ 6 ]

کل همیلتونی

[ ویرایش ]

در این مرحله، طبیعی است که کل همیلتونی را معرفی کنیم

$H_{T}=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}+\sum _{a,k}v_{a}V_{k}^{a}\phi _{ k}$

و آنچه نشان داده شده است

$H'=H+\sum _{k}U_{k}\phi _{k}.$

تکامل زمانی یک تابع در فضای فاز، f ، تحت کنترل است

${\dot {f}}\approx \{f,H_{T}\}_{PB}.$

بعداً همیلتونین توسعه یافته معرفی می شود. برای کمیت‌های ثابت سنج (کمیت‌های قابل اندازه‌گیری فیزیکی)، همه همیلتونی‌ها باید تکامل زمانی یکسانی بدهند، زیرا همه آنها معادل ضعیفی هستند. این تمایز فقط برای کمیت های غیر متغیر گیج مهم می شود.

براکت دیراک

[ ویرایش ]

در بالا همه چیز مورد نیاز برای یافتن معادلات حرکت در رویه همیلتونی اصلاح شده دیراک آمده است. با این حال، داشتن معادلات حرکت، نقطه پایانی برای ملاحظات نظری نیست. اگر کسی بخواهد یک سیستم کلی را به صورت متعارف کمی کند، به براکت های دیراک نیاز دارد. قبل از تعریف براکت‌های دیراک، باید محدودیت‌های درجه یک و طبقه دوم معرفی شوند.

تابع f(q, p) مختصات و لحظه ای را کلاس اول می نامیم اگر براکت پواسون آن با تمام قیودها به طور ضعیف ناپدید شود، یعنی:

$\{f,\phi _{j}\}_{PB}\حدود 0,$

برای همه ج . توجه داشته باشید که تنها کمیت‌هایی که ضعیف ناپدید می‌شوند، محدودیت‌های ϕj هستند ، و بنابراین هر چیزی که ضعیف ناپدید می‌شود باید به شدت برابر با ترکیب خطی محدودیت‌ها باشد. می توان نشان داد که براکت پواسون دو کمیت درجه یک نیز باید درجه یک باشد. محدودیت‌های درجه یک ارتباط نزدیکی با درجات غیر فیزیکی آزادی که قبلاً ذکر شد، دارند. یعنی، تعداد محدودیت‌های کلاس اول مستقل برابر با تعداد درجات آزادی غیرفیزیکی است، و علاوه بر این، محدودیت‌های کلاس اول اولیه تبدیل‌های سنج را ایجاد می‌کنند. دیراک همچنین فرض کرد که تمام محدودیت‌های درجه اول ثانویه، مولد تبدیل‌های سنج هستند، که نادرست است. با این حال، معمولاً با این فرض عمل می‌شود که تمام محدودیت‌های کلاس اول هنگام استفاده از این درمان، تبدیل‌های سنج ایجاد می‌کنند. [ 7 ]

هنگامی که قیود ثانویه کلاس اول با دلخواه به هامیلتونی اضافه می شود vالف $v_{a}$ از آنجایی که قیود اولیه کلاس اول برای رسیدن به همیلتونین کل اضافه می شود، سپس فرد همیلتونین توسعه یافته را به دست می آورد . همیلتونی توسعه یافته کلی ترین تکامل زمانی ممکن را برای هر کمیت وابسته به گیج نشان می دهد و ممکن است در واقع معادلات حرکت را از فرمالیسم لاگرانژی تعمیم دهد.

برای مقاصد معرفی براکت دیراک، محدودیت‌های کلاس دوم بسیار مورد توجه هستند . محدودیت‌های کلاس دوم، محدودیت‌هایی هستند که دارای یک براکت پواسون ناپدید شونده با حداقل یک محدودیت دیگر هستند.

برای مثال، قیدهای دسته دوم ϕ 1 و φ 2 را در نظر بگیرید که براکت پواسون آنها به سادگی یک ثابت است، c .

$\{\phi _{1},\phi _{2}\}_{PB}=c~.$

حال، فرض کنید کسی می‌خواهد از کوانتیزه‌سازی متعارف استفاده کند، سپس مختصات فضای فاز به عملگرهایی تبدیل می‌شوند که جابه‌جایی‌کننده‌های آن‌ها برابر براکت پواسون کلاسیک خود می‌شوند. با فرض اینکه هیچ مشکلی در نظم دهی وجود نداشته باشد که منجر به اصلاحات کوانتومی جدید شود، این بدان معناست

$[{\hat {\phi }}_{1},{\hat {\phi }}_{2}]=i\hbar ~c,$

جایی که کلاه ها بر این واقعیت تأکید دارند که محدودیت ها روی اپراتورها هستند.

از یک طرف، کوانتیزاسیون متعارف رابطه کموتاسیون فوق را به دست می‌دهد، اما از طرف دیگر ϕ 1 و φ 2 محدودیت‌هایی هستند که باید در حالت‌های فیزیکی ناپدید شوند، در حالی که سمت راست نمی‌تواند ناپدید شود. این مثال نیاز به تعمیم براکت پواسون را نشان می‌دهد که به محدودیت‌های سیستم احترام می‌گذارد و منجر به یک روش کوانتیزاسیون ثابت می‌شود. این براکت جدید باید دوخطی، ضد متقارن باشد، همانند براکت پواسون، هویت ژاکوبی را برآورده کند، برای سیستم‌های بدون محدودیت به براکت پواسون کاهش یابد، و علاوه بر این، براکت هر محدودیت درجه دوم با هر کمیت دیگر باید ناپدید شود .

در این مرحله، محدودیت های کلاس دوم برچسب گذاری می شوندϕ~الف ${\tilde {\phi }}_{a}$ . یک ماتریس را با ورودی ها تعریف کنید

$M_{ab}=\{{\tilde {\phi }}_{a},{\tilde {\phi }}_{b}\}_{PB}.$

در این حالت، براکت دیراک از دو تابع در فضای فاز، f و g ، به صورت تعریف می‌شود

$\{f,g\}_{DB}=\{f,g\}_{PB}-\sum _{a,b}\{f,{\tilde {\phi }}_{a }\}_{PB}M_{ab}^{-1}\{{\tilde {\phi }}_{b},g\}_{PB}~,$

که در آن M -1 ab نشان دهنده ورودی ab ماتریس معکوس M است . دیراک ثابت کرد که M همیشه معکوس خواهد بود .

بررسی اینکه تعریف بالا از براکت دیراک همه ویژگی‌های مورد نظر و به خصوص آخرین مورد، ناپدید شدن برای یک آرگومان که یک محدودیت درجه دوم است را برآورده می‌کند ساده است.

هنگام اعمال کوانتیزاسیون متعارف بر روی یک سیستم همیلتونی محدود، جابجایی عملگرها با براکت دیراک کلاسیک آنها 0 برابر می شود . از آنجایی که براکت دیراک به محدودیت‌ها احترام می‌گذارد، لازم نیست قبل از استفاده از هر معادله ضعیف، مانند براکت پواسون، مراقب ارزیابی همه براکت‌ها باشیم.

توجه داشته باشید که در حالی که براکت پواسون متغیرهای بوزونی (حتی گراسمن) با خودش باید ناپدید شود، براکت پواسون فرمیون‌ها که به‌عنوان یک متغیر گراسمن با خودش نمایش داده می‌شود، نیازی به ناپدید شدن ندارد. این بدان معنی است که در حالت فرمیونی ممکن است تعداد فرد قیود کلاس دوم وجود داشته باشد.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی