ریاضیات

معادله شرودینگر وابسته به زمان (عمومی)

جایی کهزمان است،بردار حالت سیستم کوانتومی است (که حرف یونانی psi است ) ویک عملگر همیلتونی قابل مشاهده است .

هر یک از این سه ردیف یک تابع موج است که معادله شرودینگر وابسته به زمان را برای یک نوسانگر هارمونیک برآورده می کند . سمت چپ: قسمت حقیقی(آبی) و قسمت مختلط (قرمز) تابع موج. راست: توزیع احتمال یافتن ذره با این تابع موج در یک موقعیت معین. دو ردیف بالا نمونه هایی از حالت های ساکن هستند که با امواج ایستاده مطابقت دارند . ردیف پایین نمونه ای از حالتی است که حالت ساکن نیست . ستون سمت راست نشان می دهد که چرا حالت های ساکن "ایستا" نامیده می شوند.

اصطلاح "معادله شرودینگر" می تواند هم به معادله کلی یا هم به نسخه غیرنسبیتی خاص اشاره کند. معادله کلی در واقع کاملاً کلی است، در سراسر مکانیک کوانتومی، برای همه چیز از معادله دیراک گرفته تا نظریه میدان کوانتومی ، با استفاده از عبارات متنوع برای همیلتونی استفاده می‌شود. نسخه غیرنسبیتی خاص، تقریبی است که نتایج دقیقی را در بسیاری از موقعیت‌ها به دست می‌دهد، اما فقط تا حدی معین (به مکانیک کوانتومی نسبیتی و نظریه میدان کوانتومی نسبیتی مراجعه کنید ).

برای اعمال معادله شرودینگر، همیلتون را برای سیستم یادداشت کنید ، انرژی جنبشی و پتانسیل ذرات تشکیل دهنده سیستم را محاسبه کنید، سپس آن را در معادله شرودینگر قرار دهید. معادله دیفرانسیل جزئی حاصل برای تابع موج که حاوی اطلاعاتی در مورد سیستم است، حل می شود. در عمل، مجذور قدر مطلق تابع موج در هر نقطه برای تعریف تابع چگالی احتمال گرفته می شود . [4] : 78  برای مثال، با توجه به یک تابع موج در فضای موقعیتهمانطور که در بالا، ما داریم