پتانسیل برداری

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و سوم خرداد ۱۴۰۳ | 9:8

ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد مفهوم کلی در نظریه ریاضی میدان های برداری است. برای پتانسیل برداری در الکترومغناطیس، پتانسیل بردار مغناطیسی را ببینید . برای پتانسیل برداری در مکانیک سیالات، تابع جریان را ببینید .

در حساب بردار ، پتانسیل برداری یک میدان برداری است که حلقه آن یک میدان برداری معین است. این مشابه یک پتانسیل اسکالر است ، که یک میدان اسکالر است که گرادیان آن یک میدان برداری معین است.

به طور رسمی، یک فیلد برداری $\mathbf {v}$ داده می شود، یک پتانسیل برداری a است $C^{2}$ میدان برداری $\mathbf {A}$ به طوری که

$\mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A}.$

پیامد [ ویرایش ]

اگر یک فیلد برداری $\mathbf {v}$ یک پتانسیل برداری را می پذیرد $\mathbf {A}$ ، سپس از برابری

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$ ( واگرایی حلقه صفر است) یک بدست می آید

$\nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0،$ که دلالت بر آن دارد $\mathbf {v}$ باید یک میدان برداری سلونوئیدی باشد .

قضیه [ ویرایش ]

اجازه دهید

$\mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ یک میدان برداری سلونوئیدی باشد که دو بار به طور پیوسته مشتق پذیر است . فرض کن که $\mathbf {v} (\mathbf {x} )$ حداقل به همان سرعت کاهش می یابد $1/\|\mathbf {x} \|$ برای $\|\mathbf {x} \|\to \infty$ . تعريف كردن

$\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{ y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y }$ جایی که $\nabla _{y}\times$ نشان دهنده کرل با توجه به متغیر $\mathbf {y}$ است. سپس $\mathbf {A}$ یک پتانسیل برداری برای $\mathbf {v}$ است. به این معنا که،

$\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v}.$

دامنه انتگرال را می توان به هر منطقه ای $\mathbf {\Omega }$ که به سادگی متصل است محدود کرد. به این معنا که، $\mathbf {A'}$ همچنین یک پتانسیل برداری از است $\mathbf {v}$ ، جایی که

$\mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .$

تعمیم این قضیه، قضیه تجزیه هلمهولتز است ، که بیان می کند که هر میدان برداری را می توان به صورت مجموع یک میدان برداری سلونوئیدی و یک میدان برداری غیر چرخشی تجزیه کرد .

با قیاس با قانون بیو ساوار ، $\mathbf {A''} (\mathbf {x} )$ همچنین به عنوان یک پتانسیل برداری برای $\mathbf {v}$ ، جایی که

$\mathbf {A''} (\mathbf {x} )=\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y})\times (\mathbf {x} - \mathbf {y} )}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{3}}}d^{3}\mathbf {y}$ .

جایگزین کردن $\mathbf {j}$ ( چگالی جریان ) برای $\mathbf {v}$ و $\mathbf {H}$ ( H-field ) برای $\mathbf {A}$ ، قانون بیوساوار را به دست می دهد.

اجازه دهید $\mathbf {\Omega }$ یک دامنه ستاره محور در نقطه باشد $\mathbf {p}$ ، جایی که $\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{3}$ . سپس استفاده از لم پوانکاره برای اشکال دیفرانسیل در زمینه های برداری $\mathbf {A'''} (\mathbf {x} )$ همچنین یک پتانسیل برداری برای است $\mathbf {v}$ ، جایی که

$\mathbf {A'''} (\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}s((\mathbf {x} -\mathbf {p} )\times (\mathbf { v} (s\mathbf {x} +(1-s)\mathbf {p} ))\ ds$

غیر منحصر به فرد بودن [ ویرایش ]

پتانسیل برداری پذیرفته شده توسط یک میدان سلونوئیدی منحصر به فرد نیست. اگر $\mathbf {A}$ یک پتانسیل برداری برای است $\mathbf {v}$ ، پس همینطور است

$\mathbf {A} +\nabla f,$ جایی که $f$ هر تابع اسکالر قابل تمایز پیوسته است. این از این واقعیت ناشی می شود که پیچش گرادیان صفر است.

این غیر منحصر به فرد بودن منجر به درجه ای از آزادی در فرمول بندی الکترودینامیک یا آزادی گیج می شود و نیاز به انتخاب گیج دارد .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

قضیه اساسی حساب برداری
پتانسیل بردار مغناطیسی
میدان برداری شیر برقی
فرم های دیفرانسیل بسته و دقیق

منابع [ ویرایش ]

مبانی مهندسی الکترومغناطیسی نوشته دیوید کی چنگ، ادیسون-وسلی، 1993.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

پتانسیل برداری

ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پیامد [ ویرایش ]

قضیه [ ویرایش ]

غیر منحصر به فرد بودن [ ویرایش ]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین