نماد اسلش فاینمن

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هجدهم خرداد ۱۴۰۳ | 19:11

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

(از اسلش دیراک تغییر مسیر داده شده است )

در مطالعه میدان‌های دیراک در نظریه میدان کوانتومی ، ریچارد فاینمن نماد اسلش فاینمن راحت را اختراع کرد (که کمتر به نام علامت ممیز دیراک شناخته می‌شود [1] ). اگر A یک بردار کوواریانت باشد (یعنی یک شکل 1 )،

${A\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{0}A_{0}+\gamma ^{1}A_{1} +\گاما ^{2}A_{2}+\گاما ^{3}A_{3}$

که γ ماتریس های گاما هستند . با استفاده از نماد جمع انیشتین ، عبارت به سادگی است

${A\!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{\mu }A_{\mu }$ .

هویت [ ویرایش ]

با استفاده از ضد جابجایی ماتریس های گاما، می توان آن را برای هر کدام نشان داد $a_{\mu }$ و $b_{\mu }$ ،

${\begin{aligned}{a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=a^{\mu }a_{\mu }\cdot I_{4}=a^ {2}\cdot I_{4}\\{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}+{b\!\!\!/}{a\!\!\! /}=2a\cdot b\cdot I_{4}.\end{تراز شده}}$

جایی که $I_{4}$ ماتریس هویت در چهار بعد است.

به خصوص،

${\partial \!\!\!/}^{2}=\جزئی ^{2}\cdot I_{4}.$

هویت‌های بیشتر را می‌توان با جایگزین کردن تانسور متریک با ضرب داخلی هویت‌های ماتریس گاما خواند . مثلا،

${\begin{aligned}\gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }&=-2{a\!\!\!/}\\\ گاما _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\گاما ^{\mu }&=4a\cdot b\cdot I_{4}\\\gamma _ {\mu {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\گاما ^{\mu }&=-2{c\!\ !\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}\\\گاما _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\! \!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\گاما ^{\mu }&=2({d\!\!\!/}{a\!\ !\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}+{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\! \!\!/}{d\!\!\!/})\\\نام اپراتور {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/})&=4a\ cdot b\\\نام اپراتور {tr} ({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/} )&=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]\\ \operatorname {tr} ({a\!\!\!/}{\gamma ^{\mu }}{b\!\!\!/}{\gamma ^{\nu }})&=4\ چپ [a^{\mu }b^{\nu }+a^{\nu }b^{\mu }-\eta ^{\mu \nu }(a\cdot b)\right]\\\ نام عامل { tr} (\گاما _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}) &=4i\varepsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\lambda }d^{\sigma }\\\ نام عامل {tr} ({\ gamma ^{\mu }}{a\!\!\!/}{\gamma ^{\nu }})&=0\\\ نام عامل {tr} ({\gamma ^{5}}{a\! \!\!/}{b\!\!\!/})&=0\\\نام اپراتور {tr} ({\گاما ^{0}}({a\!\!\!/}+m) {\گاما ^{0}}({b\!\!\!/}+m))&=8a^{0}b^{0}-4(ab)+4m^{2}\\\نام اپراتور {tr} (({a\!\!\!/}+m){\گاما ^{\mu }}({b\!\!\!/}+m){\گاما ^{\nu }} )&=4\left[a^{\mu }b^{\nu }+a^{\nu }b^{\mu }-\eta ^{\mu \nu }((a\cdot b)- m^{2})\right]\\\نام اپراتور {tr} ({a\!\!\!/}_{1}...{a\!\!\!/}_{2n}) و =\نام اپراتور {tr} ({a\!\!\!/}_{2n}...{a\!\!\!/}_{1})\\\نام اپراتور {tr} ({a\ !\!\!/}_{1}...{a\!\!\!/}_{2n+1})&=0\end{تراز شده}}$

جایی که:

$\varepsilon _{\mu \nu \lambda \sigma }$ نماد Levi-Civita است
$\eta ^{\mu \nu }$ متریک مینکوفسکی است
$m$ اسکالر است.

با چهار تکانه [ ویرایش ]

این بخش از امضای متریک (+ − −−) استفاده می کند . اغلب، هنگام استفاده از معادله دیراک و حل برای مقاطع، نماد اسلش استفاده شده در چهار تکانه را می‌یابیم : با استفاده از مبنای دیراک برای ماتریس‌های گاما،

$\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i }\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix}}\,$

و همچنین تعریف چهار تکانه متضاد در واحدهای طبیعی ،

$p^{\mu }=\left(E,p_{x},p_{y},p_{z}\right)\,$

ما به صراحت می بینیم که

${\begin{aligned}{p\!\!/}&=\gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma ^{0}p^{0}-\gamma ^{i} p^{i}\\&={\begin{bmatrix}p^{0}&0\\0&-p^{0}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&\sigma ^{i} p^{i}\\-\sigma ^{i}p^{i}&0\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}E&-{\vec {\sigma }}\cdot {\ vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-E\end{bmatrix}}.\end{تراز شده}}$

نتایج مشابهی در سایر پایه‌ها مانند پایه Weyl وجود دارد .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman_slash_notation

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی