2-منطق چند ارزشی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوم اسفند ۱۴۰۲ | 12:23

مثالها [ ویرایش ]

مقالات اصلی: منطق سه ارزشی ، منطق چهار ارزشی و منطق نه ارزشی

Kleene (قوی) K 3 و Priest Logic P 3 [ ویرایش ]

«منطق (قوی) عدم تعین کلین » K 3 (گاهی اوقاتک3اس $K_{3}^{S}$ ) و «منطق پارادوکس» پریست، یک مقدار حقیقت «تعریف نشده» یا «نامعین» را اضافه می کنند . توابع صدق برای نفی (¬)، ربط (∧)، تفکیک (∨)، ضمنی (→ک، و دو شرطی (↔ک) توسط: [3] داده می شود

¬
تی	اف
من	من
اف	تی

∧	تی	من	اف
تی	تی	من	اف
من	من	من	اف
اف	اف	اف	اف

∨	تی	من	اف
تی	تی	تی	تی
من	تی	من	من
اف	تی	من	اف

→ک	تی	من	اف
تی	تی	من	اف
من	تی	من	من
اف	تی	تی	تی

↔ک	تی	من	اف
تی	تی	من	اف
من	من	من	من
اف	اف	من	تی

تفاوت بین این دو منطق در نحوه تعریف توتولوژی ها نهفته است . در K 3 فقط T یک مقدار حقیقت تعیین شده است ، در حالی که در P3 هر دو T و I هستند (یک فرمول منطقی اگر به مقدار صدق تعیین شده ارزیابی شود، یک توتولوژی در نظر گرفته می شود). در منطق کلین می توان من را به عنوان «تعیین ناپذیر» تعبیر کرد، که نه درست است و نه نادرست، در حالی که در منطق پریست می توانم به عنوان «بیش از حد تعیین شده» تعبیر شود که هم درست و هم نادرست است. K 3 هیچ توتولوژی ندارد، در حالی که P 3 همان توتولوژی های منطق دو ارزشی کلاسیک را دارد. [4]

منطق سه ارزشی داخلی بوچوار [ ویرایش ]

منطق دیگر، منطق سه ارزشی «داخلی» دیمیتری بوچوار است $B_{3}^{I}$ ، منطق سه ارزشی ضعیف کلین نیز نامیده می شود. به جز نفی و دو شرطی، جداول صدق آن با موارد فوق متفاوت است. [5]

∧+	تی	من	اف
تی	تی	من	اف
من	من	من	من
اف	اف	من	اف

∨+	تی	من	اف
تی	تی	من	تی
من	من	من	من
اف	تی	من	اف

→+	تی	من	اف
تی	تی	من	اف
من	من	من	من
اف	تی	من	تی

مقدار صدق میانی در منطق "داخلی" بوچوار را می توان "مسری" توصیف کرد زیرا بدون توجه به مقدار هر متغیر دیگری در یک فرمول منتشر می شود. [5]

منطق بلناپ ( B 4 ) [ ویرایش ]

منطق Belnap B 4 K 3 و P 3 را ترکیب می کند . مقدار صدق بیش از حد تعیین شده در اینجا با B و مقدار صدق نامشخص N نشان داده می شود .

f ¬
تی	اف
ب	ب
ن	ن
اف	تی

f ∧	تی	ب	ن	اف
تی	تی	ب	ن	اف
ب	ب	ب	اف	اف
ن	ن	اف	ن	اف
اف	اف	اف	اف	اف

f ∨	تی	ب	ن	اف
تی	تی	تی	تی	تی
ب	تی	ب	تی	ب
ن	تی	تی	ن	ن
اف	تی	ب	ن	اف

**منطق های گودل G k و∞ G [ ویرایش ]**

در سال 1932 گودل [6] خانواده را تعریف کردجیک $G_{k}$ از منطق های بسیار ارزشمند، با ارزش های صدق بسیار زیاد $0,{\tfrac {1}{k-1}},{\tfrac {2}{k-1}},\ldots ,{\tfrac {k-2}{k-1}},1$ ، مثلا $G_{3}$ ارزش های حقیقت را دارد $0,{\tfrac {1}{2}},1$ و $G_{4}$ دارد $0,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1$ . به روشی مشابه، او منطقی را با ارزش های صدق بی نهایت تعریف کرد. $G_{\infty }$ ، که در آن مقادیر صدق همه اعداد واقعی در بازه است $[0,1]$ . مقدار صدق تعیین شده در این منطق ها 1 است.

ربط $\wedge$ و تفکیک $\vee$ به ترتیب حداقل و حداکثر عملوندها تعریف می شوند:

${\begin{aligned}u\wedge v&:=\min\{u,v\}\\u\vee v&:=\max\{u,v\}\end{تراز شده}}$

نفی $\neg _{G}$ و دلالت ${\xrightarrow[{G}]{}}$ به صورت زیر تعریف می شوند:

${\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\0,&{\text{if }}u> 0\end{cases}}\\[3pt]u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\ v,&{\text{if }}u>v\end{موارد}}\end{تراز شده}}$

منطق‌های گودل کاملاً بدیهی‌پذیر هستند، یعنی می‌توان یک حساب منطقی تعریف کرد که در آن همه توتولوژی‌ها قابل اثبات باشند. مفهوم بالا مفهوم منحصر به فرد هایتینگ است که با این واقعیت تعریف می شود که عملیات برتر و حداقل یک شبکه کامل با یک قانون توزیع نامتناهی را تشکیل می دهند که یک ساختار جبر هایتینگ کامل منحصر به فرد را بر روی شبکه تعریف می کند.

**منطق های Łukasiewicz L v و L ∞ [ ویرایش ]**

پیامد ${\xrightarrow[{L}]{}}$ و نفی ${\underset {L}{\neg }}$ توسط Jan Łukasiewicz از طریق توابع زیر تعریف شدند :

${\begin{aligned}{\underset {L}{\neg }}u&:=1-u\\u\mathrel {\xrightarrow[{L}]{}} v&:=\min\{1 ,1-u+v\}\end{تراز شده}}$

ابتدا لوکاسیویچ از این تعاریف در سال 1920 برای منطق سه ارزشی خود استفاده کرد. $L_{3}$ ، با ارزش های حقیقت $0,{\frac {1}{2}},1$ . در سال 1922 او منطقی با ارزش های بی نهایت را توسعه داد $L_{\infty }$ ، که در آن مقادیر صدق اعداد حقیقی را در بازه دربر می گیرد $[0,1]$ . در هر دو مورد، مقدار صدق تعیین شده 1 بود. [7]

با اتخاذ مقادیر صدق تعریف شده به همان روشی که برای منطق های گودل تعریف شده است $0,{\tfrac {1}{v-1}},{\tfrac {2}{v-1}},\ldots ,{\tfrac {v-2}{v-1}},1$ ، می توان یک خانواده منطقی با ارزش محدود ایجاد کرد $L_{v}$ ، ذکر شده در بالا $L_{\infty }$ و منطق $L_{\aleph _{0}}$ ، که در آن مقادیر صدق با اعداد گویا در بازه داده می شود $[0,1]$ . مجموعه توتولوژی ها در $L_{\infty }$ و $L_{\aleph _{0}}$ یکسان است

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی