نتیجه گیری [ ویرایش ]

با وجود دو زاویه،{\displaystyle \varphi،\theta }معانی مختلفی دارند (تصویر).{\displaystyle \varphi =\theta }همان خط از این رو، هر خط مقطعی از دایره، که در بالا تعریف شد، مماس با کاردیوئید است:

کاردیوئید پوشش آکوردهای یک دایره است.

نکته:
اثبات را می توان با کمک شرایط پاکت (به بخش قبلی) یک مداد ضمنی از منحنی ها انجام داد:

{\displaystyle F(x,y,t)=\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right )y-4\left(\cos {\tfrac {1}{2}}t\right)^{3}=0}

مداد خطوط متقاطع یک دایره (s. بالا) است و

{\displaystyle F_{t}(x,y,t)=-{\tfrac {3}{2}}\sin \left({\tfrac {3}{2}}t\right)x+{\tfrac { 3}{2}}\cos \left({\tfrac {3}{2}}t\right)y+3\cos \left({\tfrac {1}{2}}t\right)\sin t =0\,.}

برای پارامتر ثابت t هر دو معادله نشان دهنده خطوط هستند. نقطه تقاطع آنها است

{\displaystyle x(t)=2(1+\cos t)\cos t,\quad y(t)=2(1+\cos t)\sin t,}

که یک نقطه از کاردیوئید با معادله قطبی است.{\displaystyle r=2(1+\cos t).}

کاردیوئید به عنوان سوزاننده : منبع نور{\displaystyle Z}، پرتو نور{\displaystyle {\vec {s}}}، اشعه بازتابی{\displaystyle {\vec {r}}}

کاردیوئید به عنوان کاستیک دایره با منبع نور (راست) در محیط

کاردیوئید به عنوان کاستیک دایره [ ویرایش ]

ملاحظات ارائه شده در بخش قبل اثبات می کند که کاستیک دایره با منبع نور در محیط دایره یک کاردیوئید است.

اگر در هواپیما یک منبع نور در نقطه ای وجود داشته باشدز{\displaystyle Z}در محیط دایره ای که هر پرتویی را منعکس می کند، پس پرتوهای منعکس شده در داخل دایره مماس یک کاردیوئید هستند.

اثبات

مانند بخش قبل، دایره ممکن است نقطه میانی داشته باشد{\displaystyle (1,0)}و شعاع{\displaystyle 3}. نمایش پارامتریک آن است

{\displaystyle c(\varphi )=(1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )\ .} مماس در نقطه دایره {\displaystyle C:\ k(\varphi )}دارای بردار نرمال {\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{\mathsf {T}}}. از این رو پرتو منعکس شده دارای بردار نرمال است{\displaystyle {\vec {n}}_{r}=\left(\cos {\color {red}{\tfrac {3}{2}}}\varphi ,\sin {\color {red}{\ tfrac {3}{2}}}\varphi \right)^{\mathsf {T}}}(نمودار را ببینید) و حاوی نقطه است {\displaystyle C:\ (1+3\cos \varphi ,3\sin \varphi )}. پرتو منعکس شده بخشی از خط با معادله است (به بخش قبلی مراجعه کنید)

{\displaystyle \cos \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)x+\sin \left({\tfrac {3}{2}}\varphi \right)y=4\left( \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi \right)^{3}\,,} که مماس کاردیوئید با معادله قطبی است

{\displaystyle r=2(1+\cos \varphi )} از بخش قبل

نکته: برای چنین ملاحظاتی معمولاً بازتاب های متعدد در دایره نادیده گرفته می شود.

کاردیوئید به عنوان منحنی پدال دایره [ ویرایش ]

نقطه کاردیوئید، پایی است که عمود بر مماس دایره افتاده است

نسل کرمونا یک کاردیوئید را نباید با نسل زیر اشتباه گرفت:

بگذار باشد{\displaystyle k}یک دایره و{\displaystyle O}یک نقطه در محیط این دایره. موارد زیر درست است:

پای عمودها از نقطه{\displaystyle O}روی مماس دایره{\displaystyle k}نقاط یک کاردیوئید هستند.

از این رو کاردیوئید یک منحنی پدال ویژه یک دایره است.

اثبات [ ویرایش ]

در دایره دستگاه مختصات دکارتی{\displaystyle k}ممکن است نقطه میانی داشته باشد(2آ،0){\displaystyle (2a,0)}و شعاع {\displaystyle 2a}. مماس در نقطه دایره{\displaystyle (2a+2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi )}معادله را دارد

{\displaystyle (x-2a)\cdot \cos \varphi +y\cdot \sin \varphi =2a\,.} پای عمود از نقطه{\displaystyle O}روی مماس نقطه است{\displaystyle (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}با فاصله ای که هنوز مشخص نیست{\displaystyle r}به مبدأ{\displaystyle O}. درج نقطه در معادله مماس بازده

{\displaystyle (r\cos \varphi -2a)\cos \varphi +r\sin ^{2}\varphi =2a\quad \rightarrow \quad r=2a(1+\cos \varphi )} که معادله قطبی یک کاردیوئید است.

نکته: اگر نقطه{\displaystyle O}در محیط دایره نیست {\displaystyle k}، یک لیماسون پاسکال می گیرد .