ریاضیات

علائم و لوگوها [ ویرایش ]

اشکال سپر مورد استفاده برای بسیاری از علائم و لوگوهای شرکتی دارای مثلث های گرد هستند. با این حال، فقط برخی از آنها مثلث های Reuleaux هستند.

لوگوی شرکتی پتروفینا (فینا)، یک شرکت نفت بلژیکی با عملیات عمده در اروپا، آمریکای شمالی و آفریقا، از یک مثلث Reuleaux با نام فینا از سال 1950 تا ادغام پتروفینا با توتال SA (امروزه TotalEnergies ) در سال 2000 استفاده می کرد . [62] [63] لوگوی شرکت دیگری که در مثلث Reuleaux قاب شده است، قطب‌نمای رو به جنوب کارخانه آبجوسازی باواریا ، بخشی از تغییراتی بود که توسط شرکت طراحی Total Identity انجام شد که برنده جایزه بهترین تبلیغ‌کننده سال SAN 2010 شد. [64] مثلث Reuleaux همچنین در آرم مدرسه کلرادو معدن استفاده می شود . [65]

در ایالات متحده، سیستم مسیرهای ملی و سیستم مسیر دوچرخه ایالات متحده، هر دو مسیرها را با مثلث های Reuleaux روی تابلوها مشخص می کنند. [66]

در طبیعت [ ویرایش ]

مثلث Reuleaux به عنوان حباب مرکزی در یک مدل ریاضی از یک خوشه حباب صابون مسطح چهار حباب

طبق قوانین پلاتو ، کمان‌های دایره‌ای در خوشه‌های حباب صابونی دو بعدی در زوایای ۱۲۰ درجه به هم می‌رسند، همان زاویه‌ای که در گوشه‌های مثلث رئولو دیده می‌شود. بر اساس این واقعیت، می توان خوشه هایی ساخت که در آنها برخی از حباب ها به شکل مثلث Reuleaux در می آیند. [67]

این شکل برای اولین بار به شکل کریستالی در سال 2014 به عنوان دیسک های مثلثی Reuleaux جدا شد. [68] دیسک‌های پایه نیترات بیسموت با شکل مثلث Reuleaux از هیدرولیز و رسوب نیترات بیسموت در یک سیستم اتانول-آب در حضور 2،3-bis(2-pyridyl)pyrazine تشکیل شدند .

کلیات [ ویرایش ]

منحنی های مثلثی با عرض ثابت با گوشه های صاف به جای تیز را می توان به عنوان مکان نقاط در فاصله ثابت از مثلث Reuleaux به دست آورد. [69] تعمیم‌های دیگر مثلث Reuleaux شامل سطوح سه بعدی، منحنی‌های عرض ثابت با بیش از سه ضلع، و مجموعه‌های یانموتی است که نمونه‌های شدیدی از نابرابری بین عرض، قطر و شعاع را ارائه می‌دهند.

نسخه سه بعدی [ ویرایش ]

چهار توپ با هم قطع می شوند و چهار وجهی Reuleaux را تشکیل می دهند.

تقاطع چهار توپ با شعاع s که در مرکز راس یک چهار وجهی منظم با طول ضلع s قرار دارند، چهار ضلعی Reuleaux نامیده می شود ، اما سطح آن سطحی با عرض ثابت نیست . [70] با این حال، می‌توان آن را به سطحی با عرض ثابت، به نام چهاروجهی مایسنر ، با جایگزینی سه قوس لبه‌ای با سطوح منحنی، سطوح چرخشی یک قوس دایره‌ای، تبدیل کرد. متناوبا، سطح چرخش مثلث رئولو از طریق یکی از محورهای تقارن آن، سطحی با عرض ثابت، با حداقل حجم در بین تمام سطوح شناخته شده چرخش با عرض ثابت معین، تشکیل می دهد. [71]

چند ضلعی های Reuleaux [ ویرایش ]

مقاله اصلی: چند ضلعی Reuleaux

چند ضلعی های Reuleaux

سکه هفت ضلعی بوتسوانا 2 pula Reuleaux

مثلث Reuleaux را می توان به چند ضلعی های منتظم یا نامنظم با تعداد اضلاع فرد تعمیم داد و یک چند ضلعی Reuleaux را به دست داد ، منحنی با عرض ثابت که از کمان های دایره ای با شعاع ثابت تشکیل شده است. عرض ثابت این اشکال اجازه استفاده از آنها را به عنوان سکه هایی می دهد که می توانند در ماشین های سکه ای استفاده شوند. [9] اگرچه سکه‌هایی از این نوع در گردش عمومی معمولاً بیش از سه ضلع دارند، یک مثلث Reuleaux برای یک سکه یادبود از برمودا استفاده شده است . [53]

روش‌های مشابهی را می‌توان برای محصور کردن یک چندضلعی ساده دلخواه در منحنی با عرض ثابت، که عرض آن برابر با قطر چند ضلعی معین است، استفاده کرد. شکل حاصل از کمان های دایره ای (حداکثر به تعداد اضلاع چند ضلعی) تشکیل شده است، می تواند به صورت الگوریتمی در زمان خطی ساخته شود ، و می تواند با قطب نما و خط مستقیم ترسیم شود. [72] اگرچه چند ضلعی های Reuleaux همگی دارای تعداد فرد اضلاع قوس دایره ای هستند، می توان اشکالی با عرض ثابت با تعداد زوج ضلع کمان دایره ای با شعاع های متغیر ساخت. [73]

مجموعه های یانموتی [ ویرایش ]

مجموعه های یانموتی به عنوان بدنه های محدب یک مثلث متساوی الاضلاع به همراه سه کمان دایره ای تعریف می شوند که در مرکز رئوس مثلث قرار دارند و در همان زاویه مثلث قرار دارند، با شعاع های مساوی که حداکثر برابر با طول ضلع مثلث هستند. بنابراین، هنگامی که شعاع به اندازه کافی کوچک باشد، این مجموعه ها به خود مثلث متساوی الاضلاع منحرف می شوند، اما زمانی که شعاع تا حد ممکن بزرگ باشد، با مثلث Reuleaux مربوطه برابری می کنند. هر شکل با عرض w ، قطر d و inradius r (شعاع بزرگترین دایره ممکن موجود در شکل) از نابرابری تبعیت می کند.

و این نابرابری به یک برابری برای مجموعه های یانموتی تبدیل می شود و نشان می دهد که نمی توان آن را بهبود بخشید. [74]

ارقام مرتبط [ ویرایش ]

Triquetra در هم آمیخته شد تا یک گره سه‌فویلی ایجاد کند

در ارائه کلاسیک یک نمودار ون سه مجموعه ای به عنوان سه دایره روی هم قرار گرفته اند، ناحیه مرکزی (نماینده عناصر متعلق به هر سه مجموعه) شکل یک مثلث Reuleaux را به خود می گیرد. [3] همین سه دایره یکی از طرح‌های استاندارد حلقه‌های بورومی را تشکیل می‌دهند ، سه حلقه به هم پیوسته که نمی‌توان آنها را به‌عنوان دایره‌های هندسی درک کرد. [75] بخش‌هایی از همین دایره‌ها برای تشکیل تریکوترا ، شکلی متشکل از سه نیم‌دایره روی هم (که هر دو یک نماد vesica piscis را تشکیل می‌دهند ) استفاده می‌شود که دوباره یک مثلث Reuleaux در مرکز خود دارد. [76] همانطور که سه دایره نمودار ون ممکن است در هم آمیخته شوند تا حلقه های بورومی را تشکیل دهند، سه قوس دایره ای تریکوترا نیز ممکن است در هم آمیخته شوند تا یک گره سه گانه را تشکیل دهند . [77]

بستگان مثلث Reuleaux در مسئله یافتن حداقل شکل محیطی که مقدار ثابتی از مساحت را در بر می گیرد و شامل سه نقطه مشخص در صفحه است، به وجود می آیند. برای گستره وسیعی از انتخاب های پارامتر مساحت، راه حل بهینه برای این مسئله یک مثلث منحنی خواهد بود که سه ضلع آن کمان های دایره ای با شعاع مساوی است. به طور خاص، زمانی که سه نقطه از یکدیگر فاصله داشته باشند و مساحت مثلث Reuleaux باشد، مثلث Reuleaux محفظه بهینه است. [78]

مثلث های دایره ای مثلث هایی با لبه های قوسی دایره ای هستند که مثلث Reuleaux و همچنین اشکال دیگر را شامل می شود. منحنی دلتوئید نوع دیگری از مثلث منحنی است، اما در آن منحنی هایی که جایگزین هر ضلع مثلث متساوی الاضلاع می شوند، مقعر هستند تا محدب. از کمان های دایره ای تشکیل نشده است، بلکه ممکن است با چرخاندن یک دایره در دایره ای دیگر به شعاع سه برابری تشکیل شود. [79] دیگر اشکال مسطح با سه ضلع منحنی عبارتند از arbelos ، که از سه نیم دایره با نقاط انتهایی خطی تشکیل شده است، [80] و مثلث Bézier . [81]

مثلث Reuleaux همچنین ممکن است به عنوان برآمدگی استریوگرافی یک وجه مثلثی یک چهار وجهی کروی ، مثلث پارامترهای شوارتز تفسیر شود.با زوایای اندازه گیری کرویو اضلاع به طول کروی[67] [82]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Reuleaux_triangle