از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مرز مثلث Reuleaux یک منحنی عرض ثابت بر اساس مثلث متساوی الاضلاع است. تمام نقاط یک ضلع از راس مقابل فاصله دارند.

مثلث Reuleaux [ʁœlo] یک مثلث منحنی با عرض ثابت است که ساده ترین و شناخته شده ترین منحنی عرض ثابت غیر از دایره است. [1] از تقاطع سه دیسک دایره ای شکل می گیرد که مرکز هر کدام در مرز دو دیسک دیگر قرار دارد. عرض ثابت به این معنی است که جداسازی هر دو خط نگهدارنده موازی مستقل از جهت آنها یکسان است. از آنجایی که عرض آن ثابت است، مثلث Reuleaux یک پاسخ به این سوال است که "به غیر از یک دایره، چه شکلی می توان یک روکش منهول ساخت تا نتواند از طریق سوراخ به پایین بیفتد؟" [2]

نام آنها از فرانتس رولو [3] یک مهندس آلمانی قرن نوزدهمی گرفته شده است که پیشگام مطالعه ماشین‌هایی برای تبدیل یک نوع حرکت به نوع دیگر بود و از مثلث‌های Reuleaux در طراحی‌های خود استفاده کرد. [4] با این حال، این اشکال قبل از زمان او شناخته شده بودند، به عنوان مثال توسط طراحان پنجره های کلیساهای گوتیک ، توسط لئوناردو داوینچی ، که از آن برای طرح ریزی نقشه استفاده کرد ، و توسط لئونارد اویلر در مطالعه اش در مورد اشکال با عرض ثابت. از دیگر کاربردهای مثلث Reuleaux می‌توان به شکل دادن به پیک‌های گیتار ، مهره‌های شیر آتش نشانی ، مدادها و مته‌ها برای حفاری سوراخ‌های مربعی فیله شده و همچنین در طراحی گرافیکی به شکل برخی علائم و آرم‌های شرکت‌ها اشاره کرد.

در میان اشکال با عرض ثابت با عرض معین، مثلث Reuleaux دارای حداقل مساحت و تیزترین (کوچکترین) زاویه ممکن (120 درجه) در گوشه های خود است. با چندین معیار عددی، دورترین فاصله از متقارن بودن مرکزی است . این بزرگترین شکل با عرض ثابت را فراهم می کند و از نقاط یک شبکه عدد صحیح اجتناب می کند و ارتباط نزدیکی با شکل چهار ضلعی دارد که نسبت محیط به قطر را به حداکثر می رساند. این می تواند یک چرخش کامل در یک مربع انجام دهد در حالی که همیشه هر چهار طرف مربع را لمس می کند و با این خاصیت دارای کمترین مساحت ممکن از اشکال است. با این حال، اگرچه در این فرآیند چرخش بیشتر مربع را می پوشاند، اما نمی تواند بخش کوچکی از مساحت مربع را در نزدیکی گوشه های آن پوشش دهد. به دلیل این خاصیت چرخش در یک مربع، مثلث Reuleaux گاهی اوقات به عنوان روتور Reuleaux نیز شناخته می شود . [5]

مثلث Reuleaux اولین مورد از دنباله ای از چند ضلعی های Reuleaux است که مرزهای آن منحنی هایی با عرض ثابت هستند که از چند ضلعی های منظم با تعداد اضلاع فرد تشکیل شده اند. برخی از این منحنی ها به عنوان شکل سکه استفاده شده است . مثلث Reuleaux را می توان به چند روش به سه بعد تعمیم داد: چهار وجهی Reuleaux (تقاطع چهار توپ که مرکز آنها روی یک چهار ضلعی منظم قرار دارند ) عرض ثابتی ندارد، اما می توان با گرد کردن لبه های آن تغییر داد تا چهار وجهی Meissner را تشکیل دهد. ، که انجام می دهد. از طرف دیگر، سطح چرخش مثلث Reuleaux نیز دارای عرض ثابت است.

ساخت و ساز [ ویرایش ]

برای ساخت مثلث Reuleaux

مثلث Reuleaux ممکن است مستقیماً از سه دایره یا با گرد کردن اضلاع یک مثلث متساوی الاضلاع ساخته شود . [6]

ساخت سه دایره ممکن است به تنهایی با قطب نما انجام شود ، حتی نیازی به یک راستا نیست. با قضیه Mohr–Mascheroni همین امر به طور کلی در مورد هر ساختار قطب نما و مستقیم صادق است ، [7] اما ساخت مثلث Reuleaux به ویژه ساده است. اولین مرحله این است که دو نقطه دلخواه از صفحه را علامت گذاری کنید (که در نهایت به رئوس مثلث تبدیل می شوند) و با استفاده از قطب نما، دایره ای را در مرکز یکی از نقاط علامت گذاری شده، از طریق نقطه علامت گذاری شده دیگر رسم کنید. در مرحله بعد، یکی دایره دوم را با همان شعاع ترسیم می کند که در مرکز نقطه علامت گذاری شده دیگر قرار دارد و از اولین نقطه مشخص شده عبور می کند. در نهایت، یک دایره سوم، دوباره به همان شعاع، با مرکز آن در یکی از دو نقطه تقاطع دو دایره قبلی، ترسیم می‌کند و از هر دو نقطه مشخص شده عبور می‌کند. [8] ناحیه مرکزی در آرایش حاصل از سه دایره یک مثلث Reuleaux خواهد بود. [6]

از طرف دیگر، یک مثلث Reuleaux ممکن است از یک مثلث متساوی الاضلاع T با رسم سه کمان دایره، که هر یک در مرکز یک راس T قرار دارند و دو راس دیگر را به هم متصل می‌کنند، ساخته شود. [9] یا، به طور معادل، ممکن است به عنوان تقاطع سه دیسک در مرکز راس T ، با شعاع برابر با طول ضلع T ساخته شود . [10]