4-گراسمانین

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه یازدهم بهمن ۱۴۰۲ | 20:41

گراسمانین به عنوان یک طرح [ ویرایش ]

در قلمرو هندسه جبری , گراسمان را می توان به عنوان یک طرح با بیان آن به عنوان یک تابع قابل نمایش ساخت . [4]

تابع قابل بازنمایی [ ویرایش ]

اجازه دهید ${\mathcal {E}}$ یک شیف شبه منسجم بر روی یک طرح باشد $S$ . یک عدد صحیح مثبت را ثابت کنید $k$ . سپس به هر کدام $S$ -طرح $T$ ، تابع گراسمانی مجموعه ای از مدول های ضریب را مرتبط می کند

${\mathcal {E}}_{T}:={\mathcal {E}}\times _{O_{S}}O_{T}$

محلی بدون رتبه $k$ بر $T$ . این مجموعه را با نشان می دهیم $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{T})$ .

این تابع با یک جدا شده قابل نمایش است $S$ -طرح $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})$ . دومی تصویری است اگر ${\mathcal {E}}$ به طور متناهی تولید می شود. زمانیکه $S$ طیف یک میدان است $K$ ، سپس غلاف ${\mathcal {E}}$ توسط یک فضای برداری داده می شود $V$ و ما انواع معمول گراسمان فضای دوگانه را بازیابی می کنیم $V$ ، برای مثال: $\mathbf {Gr} (k,V)$ . با ساخت، طرح گراسمانین با تغییرات پایه سازگار است: برای هراس $S$ -طرح $S'$ ، یک هم ریختی متعارف داریم

$\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})\times _{S}S'\simeq \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}_{S'})$

به طور خاص، برای هر نقطه $s$ ازاس $S$ ، مورفیسم متعارف $\{s\}={\text{Spec}}K(s)\arrow S$ یکریختی را از فیبر القا می کند $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})_{s}$ به گراسمانین معمولی $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}\otimes _{O_{S}}K(s))$ بر روی میدان باقی مانده $K(s)$ .

خانواده جهانی [ ویرایش ]

از آنجایی که طرح گراسمن نشان دهنده یک تابع است، با یک شی جهانی همراه است، ${\mathcal {G}}$ ، که یک شی از ، $\mathbf {Gr} \left(k,{\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}\راست)،$ و بنابراین یک مدول ضریب ${\mathcal {G}}$ از ${\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})}$ ، به صورت محلی بدون رتبه $k$ بر فراز $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})$ . هممورفیسم ضریب یک غوطه وری بسته را از بسته نرم افزاری ایجاد می کند:

$\mathbf {P} ({\mathcal {G}})\to \mathbf {P} \left({\mathcal {E}}_{\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E} })}\right)=\mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}).$

برای هر مورفیسم طرح های S :

$T\to \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}}),$

این غوطه وری بسته باعث غوطه وری بسته می شود

$\mathbf {P} ({\mathcal {G}}_{T})\to \mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.$

برعکس، هر گونه غوطه وری بسته از هممورفیسم سطحی ناشی می شودتی $O_{T}$ مدول ها از ${\mathcal {E}}_{T}$ به یک مدول رایگان محلی از رتبه $k$ . [5] بنابراین، عناصر $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(T)$ دقیقا زیرمجموعه های تصویری رتبه هستند $k$ که در. $\mathbf {P} ({\mathcal {E}})\times _{S}T.$

تحت این شناسایی، زمانی که $T=S$ طیف یک میدان استک $K$ و ${\mathcal {E}}$ توسط یک فضای برداری داده می شود $V$ ، مجموعه نکات عقلی $\mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)$ با زیرفضاهای خطی تصویری ابعاد مطابقت دارد $k-1$ که در $\mathbf {P} (V)$ ، و تصویر از $\mathbf {P} ({\mathcal {G}})(K)$ که در

$\mathbf {P} (V)\times _{K}\mathbf {Gr} (k،{\mathcal {E}})$

مجموعه است

$\left\{(x,v)\in \mathbf {P} (V)(K)\times \mathbf {Gr} (k,{\mathcal {E}})(K)\mid x\ در v\right\}.$

جاسازی پلوکر [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جاسازی پلوکر

تعبیه پلوکر [ 6] تعبیه طبیعی گراسمانین است $\mathbf {Gr} (k,V)$ به فرافکنی کردنک $k$ قدرت بیرونی $\Lambda ^{k}V$ از $V$ .

$\iota :\mathbf {Gr} (k,V)\to \mathbf {P} \left(\Lambda ^{k}V\راست).$

فرض کنید که $w\subset V$ هست یک $k$ فضای فرعی بعدی از $n$ فضای برداری بعدی $V$ . برای تعریف $\iota (w)$ ، یک پایه انتخاب کنید $(w_{1},\cdots,w_{k})$ برای $w$ ، و اجازه دهید $\iota (w)$ فرافکنی شدن ضرب گوه ای این عناصر پایه باشد:

$\iota (w)=[w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{k}]،$

جایی که $[\,\cdot \,]$ نشان دهنده کلاس هم ارزی تصویری است.

مبنایی متفاوت برای $w$ یک ضرب گوه ای متفاوت به دست می دهد، اما این دو تنها با یک مضرب اسکالر غیر صفر ( تعیین کننده تغییر ماتریس پایه ) با هم تفاوت خواهند داشت. از آنجایی که سمت راست مقادیری را در فضای تصویر شده می گیرد، $\iota$ به خوبی تعریف شده است. برای مشاهده اینکه این یک جاسازی است، توجه کنید که امکان بازیابی وجود دارد $w$ از جانب $\iota (w)$ به عنوان دهانه مجموعه همه بردارها $v\in V$ به طوری که

$v\wedge \iota (w)=0$ .

مختصات پلوکر و روابط پلوکر [ ویرایش ]

تعبیه پلوکر گراسمانین مجموعه ای از روابط درجه دوم ساده به نام روابط پلوکر را برآورده می کند . اینها نشان می دهد که گراسمانین $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ به عنوان یک زیر تنوع جبری تصویری غیرمفرد از فرافکنی سازی تعبیه می شود $\mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)$ از $k$ قدرت بیرونی $V$ و روش دیگری برای ساخت گراسمانین ارائه دهید. برای بیان روابط پلوکر، یک پایه را تعیین کنید $(e_{1},\cdots,e_{n})$ برای $V$ ، و اجازه دهید $w\subset V$ یک باشدک $k$ -فضای فرعی بعدی از $V$ با پایه $(w_{1},\cdots,w_{k})$ . اجازه دهید $(w_{i1},\cdots,w_{in})$ اجزای تشکیل دهنده باشد $w_{i}$ با توجه به مبنای انتخاب شده از $V$ ، و $(W^{1},\dots,W^{n})$ را $k$ -بردارهای ستون جزء که جابجایی ماتریس مختصات همگن مربوطه را تشکیل می دهند:

$W^{T}=[W^{1}\,\cdots W^{n}]={\begin{bmatrix}w_{11}&\cdots &w_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\w_{k1}&\cdots &w_{kn}\end{bmatrix}}،$

برای هر ترتیب سفارشی $1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n$ از $k$ اعداد صحیح مثبت، اجازه دهید $w_{i_{1},\dots,i_{k}}$ تعیین کننده باشد $k\times k$ ماتریس با ستون $[W^{i_{1}},\dots ,W^{i_{k}}]$ . المانه $\{w_{i_{1},\dots,i_{k}}\,\vert \,1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n\}$ مختصات پلوکر عنصر نامیده می شوند $w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ از گراسمانین (با توجه به اساس $(e_{1},\cdots,e_{n})$ از $V$ ). اینها مختصات خطی تصویر هستند $\iota (w)$ از $w$ تحت نقشه پلوکر، نسبت به اساس قدرت بیرونیΛک $\Lambda ^{k}V$ فضای ایجاد شده توسط پایه $(e_{1},\cdots,e_{n})$ از $V$ . از آنجایی که تغییر مبنای برای $w$ باعث ضرب مختصات پلوکر در یک ثابت غیر صفر (تعیین کننده تغییر ماتریس پایه) می شود، این مختصات فقط تا هم ارزی تصویری تعریف می شوند و از این رو نقطه ای را در آن تعیین می کنند.پ $\mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)$ .

برای هر دو دنباله سفارش داده شده1 $1\leq i_{1}<i_{2}\cdots <i_{k-1}\leq n$ و $1\leq j_{1}<j_{2}\cdots <j_{k+1}\leq n$ از $k-1$ و $k+1$ اعداد صحیح مثبت به ترتیب معادلات درجه دوم همگن زیر که به روابط پلوکر یا روابط پلوکر-گراسمن معروف هستند معتبر هستند و تصویر را تعیین می کنند. $\iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))$ از $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ تحت تعبیه نقشه پلوکر:

$\sum _{l=1}^{k+1}(-1)^{\ell }w_{i_{1},\dots ,i_{k-1},j_{l}}w_{ j_{1}،\dots،{\widehat {j_{l}}}،\dots j_{k+1}}=0،$

جایی که1،…،ل^،… $j_{1},\ldots ,{\widehat {j_{l}}},\ldots j_{k+1}$ دنباله را نشان می دهد1،…، $j_{1},\ldots ,j_{k+1}$ با اصطلاحل $j_{l}$ حذف شده است. اینها با هم سازگار هستند و یک تنوع جبری تصویری غیرمفرد را تعیین می کنند ، اما از نظر جبری مستقل نیستند. آنها معادل این عبارت هستند که $\iota (w)$ فرافکنی کردن یک عنصر کاملاً تجزیه پذیر استΛک $\Lambda ^{k}V$ .

زمانی $\dim(V)=4$ ، و $k=2$ (ساده ترین گراسمن که فضای تصویری نیست)، موارد فوق به یک معادله کاهش می یابد. نشان دادن مختصات همگن تصویر $\iota (\mathbf {Gr} _{2}(V)\subset \mathbf {P} (\Lambda ^{2}V)$ تحت نقشه پلوکر به عنوان(12،13،14،23،24،34) $(w_{12},w_{13},w_{14},w_{23},w_{24},w_{34})$ ، این رابطه منفرد پلوکر است

1234-1324+1423=0. $w_{12}w_{34}-w_{13}w_{24}+w_{14}w_{23}=0.$

به طور کلی، معادلات بسیار بیشتری برای تعریف تصویر مورد نیاز است $\iota (\mathbf {Gr} _{k}(V))$ از گراسمانین درپ $\mathbf {P} (\Lambda ^{k}V)$ تحت تعبیه پلوکر.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی