3-گراسمانین

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه یازدهم بهمن ۱۴۰۲ | 20:38

گراسمانین به عنوان یک فضای همگن [ ویرایش ]

سریعترین راه برای دادن ساختار هندسی به گراسمان این است که آن را به عنوان یک فضای همگن بیان کنیم . ابتدا به یاد بیاورید که گروه خطی کلیجی $\mathrm {GL} (V)$ به صورت گذرا بر روی عمل می کندک $k$ -زیر فضاهای بعدی $V$ . بنابراین، اگر یک زیرفضا را انتخاب کنیم0 $w_{0}\subset V$ از بعد $k$ ، هر عنصر $w\in \mathbf {Gr} (k,V)$ را می توان به صورت بیان کرد

$w=g(w_{0})$

برای برخی از عناصر گروه $g\in \mathrm {GL} (V)$ ، جایی که $g$ فقط تا ضرب راست در عناصر تعیین می شود{} $\{h\in H\}$ از تثبیت کننده از $w_{0}$ :

$H:=\mathrm {stab} (w_{0}):=\{h\in \mathrm {GL} (V)\,|\,h(w_{0})=w_{0}\ }\subset \mathrm {GL} (V)$

زیر $\mathrm {GL} (V)$ -عمل.

بنابراین ممکن است شناسایی کنیم $\mathbf {Gr} (k,V)$ با فضای ضریب

$\mathbf {Gr} (k,V)=\mathrm {GL} (V)/H$

از هم مجموعه سمت چپ از $H$ .

اگر فیلد زیربنایی باشدآر $\mathbf {R}$ یاسی $\mathbf {C}$ وجی $\mathrm {GL} (V)$ به عنوان یک گروه Lie در نظر گرفته می شود ، این ساختار باعث می شود که گراسمانین یک منیفولد صاف در زیر ساختار ضریب باشد. به طور کلی، در یک میدان زمینی ک $K$ ، گروه $\mathrm {GL} (V)$ یک گروه جبری است ، و این ساختار نشان می دهد که گراسمانین یک نوع جبری غیر مفرد است . از وجود جاسازی پلوکر چنین برمی‌آید که گراسمانین به عنوان یک تنوع جبری کامل است. به خصوص، $H$ یک زیر گروه سهمی استجی $\mathrm {GL} (V)$ .

بر فرازآر $\mathbf {R}$ یا $\mathbf {C}$ همچنین می توان از گروه های کوچکتر در این ساخت و ساز استفاده کرد. برای انجام این کارآر $\mathbf {R}$ ، یک ضرب درونی اقلیدسی را ثابت کنید $q$ بر $V$ . گروه متعامد حقیقی (،) $O(V,q)$ به صورت گذرا در مجموعه عمل می کند $k$ -فضاهای فرعی بعدی $\mathbf {Gr} (k,V)$ و تثبیت کننده a $k$ -فضا $w_{0}\subset V$ است

$O(w_{0},q|_{w_{0}})\times O(w_{0}^{\perp },q|_{w_{0}^{\perp }})$ ،

جایی که $w_{0}^{\perp }$ متمم متعامد است $w_{0}$ که در $V$ . این یک همانی به عنوان فضای همگن می دهد

$\mathbf {Gr} (k,V)=O(V,q)/\left(O(w,q|_{w})\times O(w^{\perp },q|_{ w^{\perp }})\right)$ .

اگر بگیریم $V=\mathbf {R} ^{n}$ و $w_{0}=\mathbf {R} ^{k}\subset \mathbf {R} ^{n}$ (اولینک $k$ اجزاء) یکریختی را بدست می آوریم

$\mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})=O(n)/\left(O(k)\times O(nk)\راست).$

بیش از C ، اگر ضرب داخلی هرمیتی را انتخاب کنیم $h$ ، گروه واحد $U(V,h)$ به صورت گذرا عمل می کند، و ما مشابه آن را می یابیم

$\mathbf {Gr} (k,V)=U(V,h)/\left(U(w_{0},h|_{w_{0}})\times U(w_{0}^ {\perp }|,h_{w_{0}^{\perp }})\right)$

یا برایی $V=\mathbf {C} ^{n}$ و0یک $w_{0}=\mathbf {C} ^{k}\subset \mathbf {C} ^{n}$ ،

$\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})=U(n)/\left(U(k)\times U(nk)\راست).$

به طور خاص، این نشان می‌دهد که گراسمن فشرده است ، و بعد (حقیقی یا مختلط) k ( n - k ) است .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی