2-گراسمانین

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه یازدهم بهمن ۱۴۰۲ | 20:22

گراسمانین به عنوان مجموعه ای از پیش بینی های متعامد [ ویرایش ]

یک راه جایگزین برای تعریف گراسمنین حقیقی یا مختلط به عنوان یک منیفولد، مشاهده آن به عنوان مجموعه ای از عملگرهای طرح ریزی متعامد است ( میلنور و استاشف (1974) مسئله 5-C). برای این کار، یک ضرب درونی حقیقی یا هرمیتی قطعی مثبت را انتخاب کنید $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ بر $V$ ، بسته به اینکه آیا $V$ حقیقی یا مختلط است آک $k$ -فضای فرعی بعدی $w$ یک عملگر طرح ریزی متعامد منحصر به فرد را تعیین می کندپ:→ $P_{w}:V\arrow V$ که تصویر آن است $w\subset V$ با تقسیم کردن $V$ به مجموع مستقیم متعامد

$V=w\oplus w^{\perp }$

از $w$ و مکمل متعامد آن $w^{\perp }$ و تعریف کردن

اگر 0 اگر . $P_{w}(v)={\begin{cases}v\quad {\text{ if }}v\in w\\0\quad {\text{ if }}v\in w^{\ perp }.\end{موارد}}$

برعکس، هر عملگر طرح ریزیپ $P$ از رتبه $k$ زیرفضا را تعریف می کندپ:=منمتر(پ) $w_{P}:=\mathrm {Im} (P)$ به عنوان تصویر آن از آنجایی که رتبه یک عملگر پیش بینی متعامد برابر با ردیابی آن است ، می توانیم منیفولد گراسمن را شناسایی کنیم. $\mathbf {Gr} (k,V)$ با مجموعه رتبه $k$ عملگرهای طرح ریزی متعامدپ $P$ :

. $\mathbf {Gr} (k,V)\sim \left\{P\in \mathrm {End} (V)\mid P=P^{2}=P^{\dagger },\,\ ریاضی {tr} (P)=k\right\}.$

به ویژه، گرفتن $V=\mathbf {R} ^{n}$ یا $V=\mathbf {C} ^{n}$ این معادلات کاملاً صریح را برای تعبیه گراسمانین ها به دست می دهد $\mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{N})$ ، $\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{N})$ در فضای حقیقی یا مختلط× $n\times n$ ماتریس ها $\mathbf {R} ^{n\times n}$ ، $\mathbf {C} ^{n\times n}$ ، به ترتیب.

از آنجایی که این گراسمانین را به عنوان یک زیر مجموعه بسته از کره تعریف می کند{ $\{X\in \mathrm {End} (V)\mid \mathrm {tr} (XX^{\dagger })=k\}$ این یکی از راه‌هایی است که می‌توان متوجه شد که گراسمانین یک فضای فشرده هاسدورف است. این ساخت و ساز گراسمانی را نیز تبدیل می کند $\mathbf {Gr} (k,V)$ به فضای متریک با متریک

$d(w,w'):=\lVert P_{w}-P_{w'}\rVert ,$

برای هر جفت،" $w,w'\subset V$ از $k$ - فضاهای فرعی بعدی، که در آن ‖ ⋅ ‖ نشان دهنده هنجار عملگر است . ضرب داخلی دقیق مورد استفاده اهمیتی ندارد، زیرا ضرب داخلی متفاوت یک هنجار معادل را ارائه می دهد $V$ ، و از این رو یک متریک معادل.

در مورد گراسمانین های حقیقی یا مختلط، روش زیر روشی معادل برای بیان ساختار فوق بر حسب ماتریس است.

گراسمانی ها $\mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})$ ، $\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})$ به عنوان انواع جبری وابسته [ ویرایش ]

اجازه دهید $M(n,\mathbf {R} )$ فضای حقیقی را نشان می دهد× $n\times n$ ماتریس ها و زیر مجموعه $P(k,n,\mathbf {R} )\subset M(n,\mathbf {R} )$ از ماتریس ها $P\in M(n,\mathbf {R} )$ که سه شرط را برآورده می کند:

$P$ یک عملگر پروجکشن است : $P^{2}=P$ .
$P$ متقارن است : $P^{T}=P$ .
$P$ ردی دارد $\operatorname {tr} (P)=k$ .

یک تناظر دوجانبه بین وجود دارد $P(k,n,\mathbf {R} )$ و گراسمانین $\mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})$ ازک $k$ -زیر فضاهای بعدی $\mathbf {R} ^{n}$ با ارسال داده می شود $P\in P(k,n,\mathbf {R} )$ به $k$ -فضای فرعی بعدی از $\mathbf {R} ^{n}$ توسط ستون های آن پوشانده شده و برعکس، هر عنصری را ارسال می کند $w\in \mathbf {Gr} (k,\mathbf {R} ^{n})$ به ماتریس طرح ریزی

$P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{T}،$

جایی که $(w_{1},\cdots,w_{k})$ هر مبنای متعارفی برای $w\subset \mathbf {R} ^{n}$ ، حقیقی دیده می شود $n$ بردارهای ستون جزء

یک ساختار مشابه برای مجتمع گراسمانین اعمال می شود $\mathbf {Gr} (k,\mathbf {C} ^{n})$ ، آن را به صورت دوگانه با زیر مجموعه شناسایی می کند $P(k,n,\mathbf {C} )\subset M(n,\mathbf {C})$ از مجتمع× $n\times n$ ماتریس $P\in M(n,\mathbf {C})$ رضایت بخش

$P$ یک عملگر پروجکشن است : $P^{2}=P$ .
$P$ خود منتسب است (هرمیتین): $P^{\dagger }=P$ .
$P$ ردی دارد ${\rm {{tr}(P)=k}}$ ،

جایی که خود پیوستگی با توجه به ضرب درونی هرمیتی است $\langle \,\cdot,\cdot \,\rangle$ که در آن بردارهای پایه استاندارد $(e_{1},\cdots,e_{n})$ متعامد هستند. فرمول ماتریس طرح ریزی متعامد $P_{w}$ روی مجتمع $k$ -فضای فرعی بعد $w\subset \mathbf {C} ^{n}$ که توسط بردارهای پایه متعارف (واحد) پوشیده شده است $(w_{1},\cdots,w_{k})$ است

$P_{w}:=\sum _{i=1}^{k}w_{i}w_{i}^{\dagger }.$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی