1-گراسمانین

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه یازدهم بهمن ۱۴۰۲ | 20:5

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

برای دیگر کاربردها، گراسمانی (ابهام‌زدایی) را ببینید .

در ریاضیات ، گراسمانین $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ (به افتخار هرمان گراسمن نامگذاری شده است ) یک منیفولد مشتق پذیر است که مجموعه همه را پارامتر می کند. $k$ - زیرفضاهای خطی بعدی یک $n$ فضای برداری بعدی $V$ بر فراز یک مزرعه $K$ . به عنوان مثال، گراسمانین $\mathbf {Gr} _{1}(V)$ فضای خطوط از مبدا در $V$ است، پس همان فضای تصویری است $\mathbf {P} (V)$ یک بعد کمتر از $V$ . [1] [2] زمانی که $V$ یک فضای برداری حقیقی یا مختلط است، گراسمان ها منیفولدهای صاف فشرده ای با ابعاد هستند $k(nk)$ . [3] به طور کلی آنها ساختار یک نوع جبری تصویری غیر مفرد دارند .

اولین کار بر روی یک گراسمانین غیر پیش پا افتاده مدیون جولیوس پلوکر است که مجموعه خطوط پرتابی را در فضای 3 پرفکتیو حقیقی مطالعه کرد که معادل با $\mathbf {Gr} _{2}(\mathbf {R} ^{4})$ ، آنها را با آنچه که اکنون مختصات پلوکر نامیده می شود، پارامتر می کند . (به § مختصات پلوکر و روابط پلوکر در زیر مراجعه کنید.) هرمان گراسمن بعداً این مفهوم را به طور کلی معرفی کرد.

نشانه گذاری برای گراسمانی ها بین نویسندگان متفاوت است و شامل $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ ، $\mathbf {Gr} (k,V)$ ، $\mathbf {Gr} _{k}(n)$ ، $\mathbf {Gr} (k,n)$ برای نشان دادن گراسمانین از $k$ -زیر فضاهای بعدی یک $n$ فضای برداری بعدی $V$ .

انگیزه [ ویرایش ]

با دادن ساختار توپولوژیکی به مجموعه ای از زیرفضاهای یک فضای برداری ، می توان در مورد انتخاب پیوسته زیر فضاها یا مجموعه های باز و بسته از زیرفضاها صحبت کرد. با دادن ساختار بیشتر منیفولد دیفرانسیل ، می توان در مورد انتخاب های صاف زیرفضا صحبت کرد.

یک مثال طبیعی از دسته های مماس منیفولدهای صاف که در فضای اقلیدسی تعبیه شده اند به دست می آید . فرض کنید یک منیفولد داریم $M$ از بعد $k$ گنجانده شده در $\mathbf {R} ^{n}$ . در هر نقطه $x\in M$ ، فضای مماس به $M$ را می توان به عنوان زیرفضای فضای مماس از $\mathbf {R} ^{n}$ ، که آن هم فقط $\mathbf {R} ^{n}$ . نقشه تخصیص به $x$ فضای مماس آن نقشه ای را از M تا تعریف می کند $\mathbf {Gr} _{k}(\mathbf {R} ^{n})$ . (برای انجام این کار، باید فضای مماس در هر یک را ترجمه کنیم $x\in M$ به طوری که از مبدأ عبور می کند نه $x$ ، و از این رو a را تعریف می کند $k$ زیرفضای برداری بعدی این ایده بسیار شبیه به نقشه گاوس برای سطوح در یک فضای سه بعدی است.)

این می تواند با کمی تلاش به همه بسته های برداری در یک منیفولد گسترش یابدم $M$ ، به طوری که هر بسته برداری یک نقشه پیوسته ازم $M$ به یک گراسمان تعمیم یافته مناسب - اگرچه برای نشان دادن این قضیه باید قضایای مختلف تعمیم ثابت شود . سپس متوجه می‌شویم که ویژگی‌های بسته‌های برداری ما با ویژگی‌های نقشه‌های مربوطه مرتبط است. به ویژه در می یابیم که بسته های برداری که نقشه های همتوپی را به گراسمان القا می کنند هم شکل هستند . در اینجا تعریف هموتوپی بر مفهوم تداوم و در نتیجه توپولوژی متکی است.

ابعاد کم [ ویرایش ]

برای k = 1 ، گراسمانین Gr (1, n ) فضای خطوطی است که از مبدا در n -فضا می گذرند، بنابراین همان فضای تصویری است. پ-1 $\mathbf {P} ^{n-1}$ از n - 1 ابعاد.

برای k = 2 ، گراسمان فضای تمام صفحات دو بعدی حاوی مبدا است. در فضای اقلیدسی 3، صفحه ای که مبدأ را در بر می گیرد، به طور کامل با یک و تنها خط از مبدأ که عمود بر آن صفحه است مشخص می شود (و بالعکس). از این رو فضاهای Gr (2 ، 3) ، Gr (1، 3) و P2 ( صفحه تصویری ) ممکن است همه با یکدیگر شناسایی شوند.

ساده‌ترین گراسمان که فضای تصویری نیست، Gr (2، 4) است .

گراسمانین به عنوان یک منیفولد مشتق پذیر [ ویرایش ]

وقف کردن $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ با ساختار منیفولد قابل تفکیک، مبنایی را برای آن انتخاب کنید $V$ . این معادل شناسایی است $V$ با $K^{n}$ ، با پایه استاندارد مشخص شده است $(e_{1},\dots,e_{n})$ ، به عنوان بردار ستون مشاهده می شود. سپس برای هر $k$ -فضای فرعی بعدی $w\subset V$ ، به عنوان عنصری از $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ ، ممکن است مبنایی متشکل ازک $k$ بردارهای ستون مستقل خطی $(W_{1},\dots,W_{k})$ . مختصات همگن عنصر $w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ متشکل از عناصر $n\times k$ ماتریس مستطیلی رتبه حداکثر $W$ که $i$ -بردار ستون است $W_{i}$ ، $i=1,\dots,k$ . از آنجایی که انتخاب مبنا دلخواه است، دو ماتریس مستطیل شکل حداکثر رتبه بندی می کنند $W$ و ${\tilde {W}}$ نشان دهنده همان عنصر است $w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ اگر و تنها اگر

${\tilde {W}}=Wg$

برای برخی از عناصر $g\in GL(k,K)$ از گروه خطی عمومی معکوس $k\times k$ ماتریس با ورودی درک $K$ . این یک رابطه هم ارزی بین را تعریف می کند $n\times k$ ماتریس ها $W$ از رتبه $k$ ، که برای آن کلاس های هم ارزی مشخص شده است $[W]$ .

اکنون یک اطلس مختصات تعریف می کنیم. برای هر $n\times k$ ماتریس مختصات همگن $W$ ، می توانیم عملیات ستون ابتدایی را اعمال کنیم (که برابر با ضرب است $W$ توسط دنباله ای از عناصر $g\in GL(k,K)$ ) برای به دست آوردن شکل ستونی کاهش یافته آن . اگر اولیک $k$ ردیف های $W$ به صورت خطی مستقل هستند، نتیجه شکل خواهد داشت

${\begin{bmatrix}1\\&1\\&&\ddots \\&&&1\\a_{1,1}&\cdots &\cdots &a_{1,k}\\\vdots &&&\vdots \\ a_{nk,1}&\cdots &\cdots &a_{nk,k}\end{bmatrix}}$

و $(nk)\times k$ ماتریس مختصات وابسته $A$ با ورودی $(a_{ij})$ تعیین می کند $w$ . به طور کلی، اولینک $k$ سطرها لازم نیست مستقل باشند، اما از آنجا که $W$ دارای حداکثر رتبه $k$ ، مجموعه منظمی از اعداد صحیح وجود دارد $1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n$ به گونه ای که $k\times k$ زیر ماتریس $W_{i_{1},\dots,i_{k}}$ که ردیف ها هستند $(i_{1},\ldots,i_{k})$ -ام ردیف از $W$ غیر مفرد است . ما ممکن است عملیات ستونی را برای کاهش این زیرماتریس به ماتریس همانی اعمال کنیم و ورودی های باقیمانده به طور منحصر به فرد تعیین کنند. $w$ . از این رو تعریف زیر را داریم:

برای هر مجموعه مرتب شده از اعداد صحیح $1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n$ ، اجازه دهید $U_{i_{1},\dots,i_{k}}$ مجموعه عناصر باشد $w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ که برای هر انتخاب ماتریس مختصات همگن $W$ ، $k\times k$ زیر ماتریس $W_{i_{1},\dots,i_{k}}$ که $j$ - ردیف است $i_{j}$ - ردیف از $W$ غیر مفرد است مختصات affine توابع روشن است $U_{i_{1},\dots,i_{k}}$ سپس به عنوان ورودی های تعریف می شوند $(nk)\times k$ ماتریس $A^{i_{1},\dots,i_{k}}$ که ردیف های آن ماتریس هستند-1 $WW_{i_{1},\dots,i_{k}}^{-1}$ مکمل $(i_{1},\dots,i_{k})$ ، به همین ترتیب نوشته شده است. انتخاب همگن $n\times k$ ماتریس مختصات $W$ که در $[W]$ نماینده عنصر $w\in \mathbf {Gr} _{k}(V)$ بر مقادیر ماتریس مختصات افین تأثیر نمی گذارد $A^{i_{1},\dots,i_{k}}$ نشان دهنده w در همسایگی مختصات $U_{i_{1},\dots,i_{k}}$ . علاوه بر این، ماتریس مختصات $A^{i_{1},\dots,i_{k}}$ ممکن است مقادیر دلخواه را بگیرند و یک تفاوت شکلی از آن را تعریف می کنند $U_{i_{1},\dots,i_{k}}$ به فضای $K$ -ارزش $(nk)\times k$ ماتریس ها با نشان دادن

${\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}:=W(W_{i_{1},\dots,i_{k}})^{-1}$

ماتریس مختصات همگن با ماتریس همانی به عنوان $k\times k$ زیر ماتریس با ردیف $(i_{1},\dots,i_{k})$ و ماتریس مختصات وابسته $A^{i_{1},\dots,i_{k}}$ در ردیف های متوالی مکمل روی همپوشانی $U_{i_{1},\dots,i_{k}}\cap U_{j_{1},\dots ,j_{k}}$ بین هر دو محله مختصات، مقادیر ماتریس مختصات وابسته $A^{i_{1},\dots,i_{k}}$ و $A^{j_{1},\dots,j_{k}}$ با روابط گذار مرتبط هستند

${\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}W_{i_{1},\dots ,i_{k}}={\hat {A}}^{ j_{1}،\dots،j_{k}}W_{j_{1}،\dots،j_{k}}،$

جایی که هر دو $W_{i_{1},\dots,i_{k}}$ و $W_{j_{1},\dots,j_{k}}$ برگشت پذیر هستند. این ممکن است به صورت معادل نوشته شود

${\hat {A}}^{j_{1},\dots ,j_{k}}={\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}({ \hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}})^{-1},$

جایی که ${\hat {A}}_{j_{1},\dots ,j_{k}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}$ معکوس است $k\times k$ ماتریس که $l$ ردیف هفتم است $j_{l}$ ردیف هفتم از ${\hat {A}}^{i_{1},\dots ,i_{k}}$ . بنابراین توابع انتقال در عناصر ماتریس منطقی هستند $A^{i_{1},\dots,i_{k}}$ ، و $\{U_{i_{1},\dots ,i_{k}},A^{i_{1},\dots ,i_{k}}\}$ اطلس می دهد برای $\mathbf {Gr} _{k}(V)$ به عنوان یک منیفولد مشتق پذیر و همچنین به عنوان یک تنوع جبری.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی