ریاضیات

​

یک مثال [ ویرایش ]

گراف A n که در آن رئوس 1 تا n در یک ردیف قرار می گیرند و هر رأس با یک یال بدون برچسب به همسایگان نزدیکش متصل شده است، گراف کوکستر از گروه متقارن S n +1 است . ژنراتورها با جابجایی های (1 2)، (2 3)، ...، ( n n +1 ) مطابقت دارند. هر دو جابجایی غیر متوالی جابجا می‌شوند، در حالی که ضرب دو جابجایی متوالی یک چرخه 3 به دست می‌دهد: ( kk +1 ) ( k +1 k +2) = ( k k +2 k +1). بنابراین S n+1 ضریبی از گروه کاکستر است که گراف کاکستر A n دارد . استدلال های بیشتر نشان می دهد که این نقشه ضریب یک هم شکلی است.

انتزاع گروه های بازتاب [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: گروه بازتاب

گروه های کوکستر انتزاعی از گروه های بازتابی هستند. گروه‌های کوکستر گروه‌های انتزاعی هستند ، به این معنا که از طریق ارائه ارائه می‌شوند. از سوی دیگر، گروه‌های بازتابی بتنی هستند ، به این معنا که هر یک از عناصر آن ترکیبی از بازتاب‌های هندسی بسیار محدود در مورد ابرصفحه‌های خطی در برخی از فضای اقلیدسی است. از نظر فنی، یک گروه بازتابی زیرگروهی از یک گروه خطی (یا تعمیم های مختلف) است که توسط ماتریس های متعامد تعیین کننده -1 ایجاد می شود. هر مولد یک گروه کوکستر دارای نظم 2 است که این واقعیت هندسی را انتزاع می کند که انجام یک بازتاب دو بار هویت است. هر رابطه فرم، مربوط به این واقعیت هندسی است که با توجه به ملاقات دو ابرصفحه در زاویه ای از، ترکیب دو انعکاس در مورد این ابرصفحه ها یک چرخش استکه دارای مرتبه k است .

به این ترتیب، هر گروه بازتابی ممکن است به عنوان یک گروه کوکستر ارائه شود. [1] عکس تا حدی درست است: هر گروه محدود کوکستر یک بازنمایی وفادار را به عنوان یک گروه بازتابی محدود از فضای اقلیدسی می پذیرد. [2] با این حال، هر گروه نامتناهی کوکستر یک نمایش را به عنوان یک گروه بازتابی نمی پذیرد.

گروه های محدود کوکستر طبقه بندی شده اند. [2]

گروه های محدود کوکستر [ ویرایش ]

گرافهای کوکستر گروه های محدود کوکستر

طبقه بندی [ ویرایش ]

گروه های محدود کوکستر بر اساس گرافهای کوکستر طبقه بندی می شوند . [2]

گروه های محدود کوکستر با گرافهای کوکستر متصل از 3 خانواده یک پارامتری با رتبه افزایشی تشکیل شده است.یک خانواده یک پارامتری از بعد دو،،و 6 گروه استثنایی :واچ4. هر گروه محدود کوکستر محصول مستقیم تعداد محدودی از گروه های کوکستر در لیست بالا است.

گروه های ویل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: گروه ویل

بسیاری از آنها، اما نه همه آنها، گروه های ویل هستند و هر گروه ویل را می توان به عنوان یک گروه کوکستر در نظر گرفت. گروه های ویل خانواده ها هستندوو استثنائاتو6)،در علامت گروه ویل به عنوان نشان داده شده است.

موارد غیر ویل استثنا هستندوو آن اعضای خانواد هو).

این را می‌توان با مقایسه محدودیت‌های گرافهای داینکین (غیر جهت‌دار) با محدودیت‌های گرافهای کاکستر گروه‌های محدود ثابت کرد: به طور رسمی، گراف کاکستر را می‌توان با کنار گذاشتن جهت یال‌ها و جایگزین کردن هر یال دوتایی از گراف داینکین به‌دست آورد. یک یال با برچسب 4 و هر یال سه گانه توسط یک یال با برچسب 6. همچنین توجه داشته باشید که هر گروه کوکستر به طور محدود تولید شده یک گروه خودکار است . [6] گرافهای دینکین دارای محدودیت اضافی هستند که تنها برچسب های لبه مجاز 2، 3، 4، و 6 هستند که موارد فوق را نشان می دهد. از نظر هندسی، این با قضیه محدودیت کریستالوگرافی مطابقت دارد ، و این واقعیت که پلی توپ های حذف شده فضا را پر نمی کنند یا صفحه را کاشی نمی کنند.دوازده وجهی (دو وجهی، ایکو وجهی) فضا را پر نمی کند. برایسلول 120 (دوگانه، 600 سلولی) فضا را پر نمی کند. براییک p -gon به جز برای صفحه را کاشی نمی کند،یا(به ترتیب کاشی کاری های مثلثی، مربعی و شش ضلعی).

همچنین توجه داشته باشید که گرافهای داینکین (جهت‌دار) Bn و C n یک گروه ویل را ایجاد می‌کنند (از این رو گروه کوکستر)، زیرا آنها به عنوان گرافهای جهت‌دار متفاوت هستند ، اما به عنوان گرافهای غیر جهت‌دار موافق هستند - جهت برای سیستم‌های ریشه مهم است اما برای ویل نه. گروه; این مربوط به ابر مکعب و چند توپ متقاطع است که چند توپ معمولی متفاوت هستند اما دارای گروه تقارن یکسان هستند.

خواص [ ویرایش ]

برخی از خصوصیات گروه های کاکستر تقلیل ناپذیر محدود در جدول زیر آورده شده است. ترتیب یک گروه تقلیل پذیر را می توان با حاصل ضرب سفارشات زیرگروه تقلیل ناپذیر آن محاسبه کرد.

​