ریاضیات

چهار وجهی پر فضا [ ویرایش ]

یک چهار وجهی پر فضا با کپی‌های مستقیماً متجانس یا انانتیومورف ( تصویر آینه‌ای ) از خود در فضای کاشی بسته می‌شود. [14] مکعب را می توان به شش طرح 3 ارتوشی، سه طرح چپ و سه راست دست (یکی از هر کدام در هر وجه مکعب) تقسیم کرد، و مکعب ها می توانند فضا را پر کنند، بنابراین طرح 3 ارتوشیوی مشخصه مکعب است. چهار وجهی پر فضا از این نظر. [f] یک دیسپنوئید می تواند یک چهار وجهی پرکننده فضا به معنای مستقیماً متجانس باشد، مانند لانه زنبوری چهاروجهی دیفنوئیدی . با این حال، چهار وجهی منظم نمی تواند فضا را به تنهایی پر کند. [g]

دامنه های بنیادی [ ویرایش ]

برای فضای 3 اقلیدسی، 3 چهار وجهی گورسات ساده و مرتبط وجود دارد. آنها را می توان به صورت نقاط روی یک مکعب و درون آن مشاهده کرد.

یک چهار وجهی نامنظم که حوزه اساسی [15] یک گروه تقارن است ، نمونه ای از چهار وجهی گورسات است . چهار ضلعی Goursat تمام چند وجهی های منظم (و بسیاری از چندوجهی های یکنواخت دیگر) را با بازتاب های آینه ای تولید می کند، فرآیندی که به آن ساختار کالیدوسکوپی Wythoff گفته می شود .

برای چند وجهی، ساخت وایتوف سه آینه را در زوایای یکدیگر ترتیب می دهد، مانند یک کالیدوسکوپ . آینه‌های Wythoff بر خلاف یک کالیدوسکوپ استوانه‌ای در سه وجه یک چهار وجهی Goursat قرار دارند به طوری که هر سه آینه در یک نقطه قطع می‌شوند. [h]

در میان چهار ضلعی های گورسات که لانه زنبوری سه بعدی را تولید می کنند، می توان یک ارتوشیم (چهار ضلعی مشخصه مکعب)، یک ارتوشیم دوتایی (چهار ضلعی مشخصه مکعب که به صورت رویه به تصویر آینه ای آن متصل است) و دیسپنوئید پرکننده فضا را تشخیص داد. در بالا . [10] دیسپنوئید یک ارتوشیم دوتایی است که به تصویر آینه‌ای آن متصل شده است (یک ارتوشیم چهارگانه). بنابراین، هر سه این چهار وجهی گورسات، و تمام چندوجهی‌هایی که توسط بازتاب‌ها ایجاد می‌کنند، می‌توانند به چهار وجهی‌های مشخصه مکعب تقسیم شوند .

ایزومتریک چهار وجهی نامنظم [ ویرایش ]

ایزومتریک های یک چهار وجهی نامنظم (بدون علامت) به هندسه چهار وجهی بستگی دارد که 7 حالت ممکن است. در هر مورد یک گروه نقطه سه بعدی تشکیل می شود. دو ایزومتریک دیگر (C 3 , [3] + ) و (S 4 , [2 + ,4 + ]) می توانند وجود داشته باشند اگر علامت چهره یا لبه گنجانده شود. نمودارهای چهار ضلعی برای هر نوع در زیر گنجانده شده است، با لبه های رنگ آمیزی هم ارزی ایزومتریک، و رنگ خاکستری برای لبه های منحصر به فرد است.

نام چهار وجهی				نمودار هم ارزی لبه	شرح
تقارن
شون.	کاکس	گوی.	سفارش
چهار وجهی منظم					چهار مثلث متساوی الاضلاع این گروه تقارن T d را تشکیل می دهد که هم شکل به گروه متقارن S 4 است . یک چهار وجهی معمولی دارای نمودار کاکستر است و علامت Schläfli {3،3}.
T d T	[3،3] [3،3] +	*332 332	24 12
هرم مثلثی					یک قاعده مثلث متساوی الاضلاع و سه ضلع مثلث متساوی الساقین 6 ایزومتریک مربوط به 6 ایزومتری پایه می دهد. به عنوان جایگشت رئوس، این 6 ایزومتریک هویت 1، (123)، (132)، (12)، (13) و (23) هستند، که گروه تقارن C 3v را تشکیل می دهند ، هم شکل به گروه متقارن ، S 3 . یک هرم مثلثی دارای نماد Schläfli {3}∨( ) است.
C 3v C 3	[3] [3] +	*33 33	6 3
اسفنوئید آینه ای					دو مثلث مساوی با یک لبه پایه مشترک این دارای دو جفت لبه مساوی (1،3)، (1،4) و (2،3)، (2،4) است و در غیر این صورت هیچ لبه ای برابر نیست. تنها دو ایزومتریک 1 و انعکاس (34) هستند که گروه C را به گروه حلقوی Z 2 هم شکل می دهد .
C s = C 1h = C 1v	[ ]	*	2
چهار وجهی نامنظم (بدون تقارن)					چهار مثلث نابرابر تنها همسانی آن هویت است و گروه تقارن گروه بی اهمیت است . یک چهار وجهی نامنظم دارای نماد شلافلی ( )∨( )∨( )∨( ) است.
ج 1	[ ] +	1	1
دیسپنوئیدها (چهار مثلث مساوی)
دیسپنوئید تتراگونال					چهار مثلث متساوی الساقین مساوی 8 ایزومتریک دارد. اگر طول یال های (1،2) و (3،4) با 4 مورد دیگر متفاوت باشد، 8 ایزومتریک همان هویت 1، بازتاب (12) و (34) و چرخش 180 درجه (12) (34) است. (13) (24)، (14) (23) و چرخش های 90 درجه نامناسب (1234) و (1432) تشکیل گروه تقارن D 2d . دیسپنوئید چهارضلعی دارای نمودار کوکستر استو علامت Schläfli s{2،4}.
D 2d S 4	[2 + ,4] [2 + ,4 + ]	2*2 2×	8 4
دیسپنوئید لوزی شکل					چهار مثلث مقیاسی مساوی دارای 4 ایزومتریک است. ایزومتریک ها 1 و چرخش های 180 درجه (12) (34)، (13) (24)، (14) (23) هستند. این کلاین چهار گروهی V 4 یا Z 2 2 است که به عنوان گروه نقطه ای D 2 وجود دارد . دیسپنوئید لوزی شکل دارای نمودار کاکستر استو علامت Schläfli sr{2،2}.
د 2	[2،2] +	222	4
دیسپنوئیدهای تعمیم یافته (2 جفت مثلث مساوی)
دیسپنوئید دیگونال					دو جفت مثلث متساوی الساقین مساوی این دو یال مخالف (1،2) و (3،4) را به دست می‌دهد که عمود بر هم هستند اما طول‌های متفاوتی دارند، و سپس 4 ایزومتی 1، بازتاب‌ها (12) و (34) و چرخش 180 درجه (12) (34) هستند. . گروه تقارن C 2v است که با V 4 چهار گروهی کلاین هم شکل است . یک دیسپنوئید دو ضلعی دارای نماد Schläfli { }∨{ } است.
C 2v C 2	[2] [2] +	*22 22	4 2
دیسفنوئید فیلیک					دو جفت مثلث مساوی یا متساوی الساقین این دارای دو جفت لبه مساوی (1،3)، (2،4) و (1،4)، (2،3) است اما در غیر این صورت هیچ لبه ای برابر نیست. تنها دو ایزومتریک 1 و چرخش (12) (34) هستند که گروه C 2 را به گروه حلقوی ، Z 2 هم شکل می دهد .
ج 2	[2] +	22	2