3-سری تیلور

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و یکم آذر ۱۴۰۲ | 15:24

خطای تقریب و همگرایی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه تیلور

تابع سینوس (آبی) با چند جمله ای تیلور درجه 7 (صورتی) برای یک دوره کامل در مرکز مبدأ تقریباً تقریب می یابد.

چند جمله ای های تیلور برای ln(1 + x ) فقط تقریب های دقیقی را در محدوده −1 < x≤ 1 ارائه می دهند . برای x > 1 ، چند جمله ای های تیلور با درجه بالاتر تقریب بدتری ارائه می دهند.

تقریب های تیلور برای ln(1 + x ) (سیاه). برای x > 1 ، تقریب ها واگرا می شوند.

تصویر تقریب دقیق sin x حول نقطه x = 0 است . منحنی صورتی یک چند جمله ای درجه هفت است:

$\sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^ {7}}{7!}}.\!$

خطا در این تقریب بیشتر از | نیست x | 9/9 ! . برای یک چرخه کامل در مرکز مبدا ( -π < x < π ) خطا کمتر از 0.08215 است. به طور خاص، برای -1 < x < 1 ، خطا کمتر از 0.000003 است.

در مقابل، همچنین تصویری از تابع لگاریتم طبیعی ln(1 + x ) و برخی از چندجمله ای های تیلور آن در اطراف a = 0 نشان داده شده است . این تقریب ها فقط در ناحیه -1 < x ≤ 1 به تابع همگرا می شوند . در خارج از این منطقه، چند جمله ای های درجه بالاتر تیلور تقریب بدتری برای تابع هستند.

خطایی که در تقریب یک تابع با چند جمله ای تیلور درجه n آن رخ می دهد باقیمانده یا باقیمانده نامیده می شود و با تابع Rn ( x ) نشان داده می شود . از قضیه تیلور می توان برای به دست آوردن حدی در اندازه باقیمانده استفاده کرد .

به طور کلی، سری های تیلور به هیچ وجه نیازی به همگرایی ندارند . و در واقع مجموعه توابع با سری تیلور همگرا مجموعه ای ناچیز در فضای فریشه از توابع صاف است . و حتی اگر سری تیلور یک تابع f همگرا شود، نیازی نیست حد آن به طور کلی برابر با مقدار تابع f ( x ) باشد . به عنوان مثال، تابع

$f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\[3mu]0&{\text{if } }x=0\end{موارد}}$

بی نهایت در x = 0 قابل تمایز است و تمام مشتقات آن صفر است. در نتیجه، سری تیلور از f ( x ) در حدود x = 0 به طور یکسان صفر است. با این حال، f ( x ) تابع صفر نیست، بنابراین با سری تیلور آن در اطراف مبدا برابر نیست. بنابراین، f ( x ) مثالی از یک تابع صاف غیر تحلیلی است .

در تجزیه و تحلیل واقعی ، این مثال نشان می دهد که توابع بی نهایت قابل تمایز f ( x ) وجود دارند که سری های تیلور آنها با f ( x ) برابر نیستند ، حتی اگر همگرا شوند. در مقابل، توابع هولومورفیک مورد مطالعه در تحلیل پیچیده همیشه دارای یک سری تیلور همگرا هستند، و حتی سری تیلور از توابع مرومورفیک ، که ممکن است دارای تکینگی باشند، هرگز به مقداری متفاوت از خود تابع همگرا نمی شوند. با این حال، تابع مختلط e -1/ z2 وقتی z در امتداد محور فرضی به 0 نزدیک می شود به 0 نزدیک نمی شود ، بنابراین در صفحه مختلط پیوسته نیست و سری تیلور آن در 0 تعریف نشده است.

به طور کلی تر، هر دنباله ای از اعداد حقیقی یا مختلط می تواند به عنوان ضرایبی در سری تیلور از یک تابع بی نهایت متمایز تعریف شده بر روی خط واقعی ظاهر شود که نتیجه لم بورل است . در نتیجه، شعاع همگرایی یک سری تیلور می تواند صفر باشد. حتی توابع بی‌نهایت قابل تمایز روی خط واقعی تعریف شده‌اند که سری تیلور در همه جا شعاع همگرایی 0 دارند. [9]

یک تابع را نمی توان به عنوان یک سری تیلور با محوریت تکینگی نوشت . در این موارد، اگر قدرت های منفی متغیر x را نیز مجاز بدانیم، اغلب می توان به یک بسط سری دست یافت . سری Laurent را ببینید . برای مثال، f ( x ) = e −1/ x 2 را می توان به صورت سری Laurent نوشت.

تعمیم [ ویرایش ]

با این حال، یک تعمیم [10] [11] از سری تیلور وجود دارد که با استفاده از حساب اختلافات متناهی ، به مقدار خود تابع برای هر تابع پیوسته محدود در (0,∞) همگرا می شود . به طور خاص، با توجه به Einar Hille ، یک قضیه زیر را دارد که برای هر t > 0 ،

$\lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h }^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).$

اینجا Δn
ساعتn امین عملگر تفاضل محدود با اندازه گام h است . این سری دقیقاً سری تیلور است، با این تفاوت که به جای تمایز، تفاوت‌های تقسیم شده ظاهر می‌شود: این سری از نظر رسمی شبیه به سری‌های نیوتن است . وقتی تابع f در a تحلیلی است ، عبارت‌های سری با عبارت‌های سری تیلور همگرا می‌شوند و از این نظر سری معمول تیلور را تعمیم می‌دهند.

به طور کلی، برای هر دنباله نامتناهی a i ، هویت سری توان زیر برقرار است:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j =0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.$

بنابراین به طور خاص،

$f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.$

سری سمت راست مقدار مورد انتظار f (a + X) است ، که در آن X یک متغیر تصادفی توزیع شده توسط پواسون است که مقدار jh را با احتمال e - t / h می گیرد .( t / h ) j/ج !. از این رو،

$f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h} (ایکس).$

قانون اعداد بزرگ نشان می دهد که هویت وجود دارد. [12]

فهرست سری مکلورن از برخی توابع رایج [ ویرایش ]

همچنین ببینید: لیست سری های ریاضی

چندین بسط مهم سری مکلورن دنبال می شود. [13] همه این بسط ها برای آرگومان های پیچیده x معتبر هستند .

تابع نمایی [ ویرایش ]

تابع نمایی e x (به رنگ آبی)، و مجموع اولین جمله های n + 1 سری تیلور آن در 0 (به رنگ قرمز).

تابع نمایی $e^{x}$ (با پایه e ) دارای سری مکلورن است

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2} {2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$ .

برای همه x همگرا می شود .

تابع مولد نمایی اعداد بل تابع نمایی سلف تابع نمایی است:

$\exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}$

لگاریتم طبیعی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: سری مرکاتور

لگاریتم طبیعی (با پایه e ) دارای سری مکلورن است

لوهمگرا می شوند برای $|x|<1$ . (علاوه بر این، سری برای ln(1 - x ) برای x = -1 همگرا می شود و سری برای ln(1 + x ) برای x = 1 همگرا می شود .)

سری هندسی [ ویرایش ]

سری هندسی و مشتقات آن دارای سری مکلورن هستند

. ${\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{ (1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3 }}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{تراز شده}}$

همه همگرا هستند برای $|x|<1$ . اینها موارد خاصی از سری دوجمله ای هستند که در بخش بعدی آورده شده است.

سری دو جمله ای [ ویرایش ]

سری دوجمله ای سری توان است

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}$

که ضرایب آن ضرایب دوجمله ای تعمیم یافته است

${\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha ( \alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.$

(اگر n = 0 باشد ، این حاصلضرب یک محصول خالی است و مقدار 1 دارد.) برای همگرا می شود1 $|x|<1$ برای هر عدد واقعی یا مختلط α .

وقتی α = -1 ، این اساساً سری هندسی نامتناهی است که در بخش قبل ذکر شد. موارد خاص α =1/2و α = -1/2تابع جذر و معکوس آن را بدهید :

${\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8} }x^{2}+{\tfrac {1}{16}}x^{3}-{\tfrac {5}{128}}x^{4}+{\tfrac {7}{256}}x ^{5}-\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n! )^{2}(2n-1)}}x^{n}،\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\tfrac {1}{ 2}}x+{\tfrac {3}{8}}x^{2}-{\tfrac {5}{16}}x^{3}+{\tfrac {35}{128}}x^{4 }-{\tfrac {63}{256}}x^{5}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{تراز شده}}$

هنگامی که فقط عبارت خطی حفظ می شود، این به تقریب دو جمله ای ساده می شود .

توابع مثلثاتی [ ویرایش ]

توابع مثلثاتی معمول و معکوس آنها دارای سری مکلورن زیر هستند:

ایکس33+ایکس55-⋯برای |ایکس|≤1، ایکس≠±من ${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^ {2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{برای همه }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n} &&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{برای همه }}x\\ [6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)} {(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots && {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(- 1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4 }}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^ {\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^ {3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={ \frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac { x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{برای }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x& =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^ {3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end {هم راستا}}$

همه زوایا بر حسب رادیان بیان می شوند . اعداد B k که در بسط های tan x ظاهر می شوند اعداد برنولی هستند . E k در بسط sec x اعداد اویلر هستند .

توابع هذلولی [ ویرایش ]

توابع هذلولی دارای سری مکلورن هستند که نزدیک به سری برای توابع مثلثاتی مربوطه هستند:

گناه1 ${\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+ {\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{برای همه }}x\\[6pt]\ cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2! }}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{برای همه }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{ \infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\ frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{ برای }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1) )^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3 }}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&= \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{ \frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{برای }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{تراز شده}}$

اعداد B k که در سری برای tanh x ظاهر می شوند اعداد برنولی هستند .

توابع چند لگاریتمی [ ویرایش ]

چند لگاریتم ها دارای این اتحادها تعیین کننده هستند:

${\text{Li}}_{2}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}$

${\text{Li}}_{3}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}$

توابع خی لژاندر به صورت زیر تعریف می شوند:

$\chi _{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1 }$

$\chi _{3}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1 }$

و فرمول های ارائه شده در زیر انتگرال مماس معکوس نامیده می شوند :

${\text{Ti}}_{2}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1) ^{2}}}x^{2n+1}$

${\text{Ti}}_{3}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1) ^{3}}}x^{2n+1}$

در ترمودینامیک آماری این فرمول ها اهمیت زیادی دارند.

توابع بیضوی [ ویرایش ]

انتگرال های بیضی کامل نوع اول K و نوع دوم E را می توان به صورت زیر تعریف کرد:

${\frac {2}{\pi }}E(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{(1 -2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}$

توابع تتا ژاکوبی دنیای توابع مدولار بیضوی را توصیف می کنند و این سری تیلور را دارند:

$\vartheta _{00}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}$

$\vartheta _{01}(x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}$

دنباله شماره پارتیشن معمولی P(n) این تابع تولید کننده را دارد:

$\vartheta _{00}(x)^{-1/6}\vartheta _{01}(x)^{-2/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00} (x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{-1/24}=\sum _{n=0} ^{\infty }P(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{k}}}$

دنباله شماره پارتیشن دقیق Q(n) دارای این تابع تولید کننده است:

$\vartheta _{00}(x)^{1/6}\vartheta _{01}(x)^{-1/3}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}( x)^{4}-\vartheta _{01}(x)^{4}}{16\,x}}{\biggr ]}^{1/24}=\sum _{n=0}^{ \infty }Q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی