ریاضیات

5.4
راه حل های معادله لاپلاس در مختصات دکارتی

پس از بررسی برخی از خصوصیات کلی جواب های معادله پواسون، اکنون مناسب است که روش های حل معادله لاپلاس را با توجه به شرایط مرزی مطالعه کنیم. سه مرحله استاندارد که اغلب در نمایش فیلدهای EQS مورد استفاده قرار می گیرند، در این بخش و بخش بعدی مثال می زنند. ابتدا معادله لاپلاس در سیستم مختصاتی تنظیم می شود که در آن سطوح مرزی سطوح مختصات هستند. سپس معادله دیفرانسیل جزئی با جداسازی متغیرها به مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل معمولی کاهش می یابد. به این ترتیب مجموعه بی نهایتی از راه حل ها تولید می شود. در نهایت، شرایط مرزی با روی هم قرار دادن راه‌حل‌های یافت شده با جداسازی متغیرها برآورده می‌شوند.

در این بخش، راه حل هایی به دست می آیند که اگر شرایط مرزی در امتداد سطوح مختصات یک سیستم مختصات دکارتی بیان شود، طبیعی هستند. فرض بر این است که میدان ها فقط به دو مختصات x و y بستگی دارند ، بنابراین معادله لاپلاس است (جدول I)

این یک معادله دیفرانسیل جزئی در دو متغیر مستقل است. یکی از روش‌های قدیمی ریاضی، کاهش یک مسئله جدید به مسئله‌ای است که قبلاً حل شده است. در اینجا فرآیند یافتن راه حل برای معادله دیفرانسیل جزئی به یکی از یافتن راه حل برای معادلات دیفرانسیل معمولی کاهش می یابد. این امر با روش جداسازی متغیرها انجام می شود . این شامل فرض راه حل هایی با وابستگی به فضای ویژه است

در (2)، X تابعی از x به تنهایی و Y تابعی از y به تنهایی فرض شده است. در صورت نیاز، یک وابستگی کلی فضایی سپس با برهم‌نهی این محلول‌های ویژه بازیابی می‌شود. جایگزینی (2) به (1) و تقسیم تا آن زمان می دهد

نمادهای مشتق کل استفاده می شود زیرا توابع مربوطه X و Y طبق تعریف فقط توابع x و y هستند .

در (3) اکنون در سمت چپ تابعی از x به تنهایی و در سمت راست تابعی از y به تنهایی داریم. تنها در صورتی می توان معادله را مستقل از x و y برآورده کرد که هر یک از این عبارات ثابت باشند. ما این ثابت "جدایی" را با k 2 نشان می دهیم و نتیجه آن است

و

این معادلات دارای راه حل هستند

اگر k = 0 باشد ، محلول ها به انحطاط تبدیل می شوند

راه حل های محصول، (2)، در چهار ردیف اول جدول 5.4.1 خلاصه شده است. آنهایی که در ستون سمت راست قرار دارند، به سادگی آنهایی هستند که در ستون میانی قرار دارند و نقش‌های x و y با هم عوض شده‌اند. به طور کلی، در نوشتن این راه‌حل‌ها، حرف اول را کنار می‌گذاریم . نمایی نیز راه حلی برای (7) است. این راه حل ها که گاهی راحت ترند در چهار ردیف آخر جدول خلاصه می شوند.

راه حل های خلاصه شده در این جدول را می توان برای به دست آوردن بینشی در مورد ماهیت فیلدهای EQS استفاده کرد. بنابراین اگر آنها اکنون تجسم شوند، سرمایه گذاری خوبی انجام می شود.

فیلدهای نشان داده شده با پتانسیل در ستون سمت چپ جدول 5.4.1 همگی آشنا هستند. آنهایی که در x و y خطی هستند به ترتیب در جهت x و y میدان های یکنواخت را نشان می دهند . پتانسیل xy از شکل 4.1.3 آشناست. ما از قراردادهای مشابه برای نشان دادن پتانسیل های ستون دوم استفاده خواهیم کرد، اما در نظر گرفتن تصویر سه بعدی که برای پتانسیل xy در شکل 4.1.4 مثال زده شده است، مفید است. در نقشه‌های میدانی پیچیده‌تر که دنبال می‌شوند، طرح به‌عنوان یک نقشه خطی از پتانسیل با قله‌های پتانسیل مثبت و دره‌های پتانسیل منفی تجسم می‌شود.

در حاشیه بالا و سمت چپ شکل 5.4.1 به ترتیب توابع cos kx و cosh ky ترسیم شده است که حاصل ضرب آنها اولین پتانسیل در ستون میانی جدول 5.4.1 است. اگر از مبدأ در جهت +y یا -y (شمال یا جنوب) شروع کنیم، از یک تپه بالقوه بالا می‌رویم. اگر در عوض در جهت های +x یا -x (شرق یا غرب) پیش برویم ، به سمت پایین حرکت می کنیم. یک مسیر شرقی که بر روی تپه بالقوه در شمال مبدأ آغاز شده است با کاهش ضریب cos kx مطابقت دارد . برای دنبال کردن مسیری با ارتفاع مساوی، ضریب cosh ky باید افزایش یابد، و این نشان می دهد که مسیر باید به سمت شمال بچرخد.

شکل 5.4.1 معادلات برای = cos(kx) cosh (ky) و خطوط میدان. به عنوان کمکی برای تجسم پتانسیل، عوامل جداگانه cos (kx) و cosh (ky) به ترتیب در بالا و سمت چپ نمایش داده می شوند.

یک نقطه شروع خوب در ساخت این طرح های میدانی، شناسایی خطوط پتانسیل صفر است. در نمودار پتانسیل دوم در ستون میانی جدول 5.4.1، نشان داده شده در شکل 5.4.2، اینها محور y و خطوط kx = + /2، + 3 /2 و غیره هستند. وابستگی به y در حال حاضر فرد به جای زوج است، همانطور که برای نمودار شکل 5.4.1 بود. بنابراین، مبدأ اکنون در سمت تپه ای بالقوه است که از شمال به جنوب به سمت پایین شیب دارد.

شکل 5.4.2 معادلات برای = cos (kx) sinh (ky) و خطوط میدان. به عنوان کمکی برای تجسم پتانسیل، عوامل جداگانه cos (kx) و sinh (ky) به ترتیب در بالا و سمت چپ نمایش داده می شوند.

راه‌حل‌های سطرهای سوم و چهارم ستون دوم دارای همان الگوهای میدانی هستند که قبلاً در مورد آنها بحث شد، مشروط بر اینکه این الگوها به ترتیب در جهت x جابجا شوند . در چهار ردیف آخر جدول 5.4.1 چهار راه حل ممکن اضافی وجود دارد که ترکیب خطی چهار راه حل قبلی در آن ستون است. از آنجایی که این ها به صورت تصاعدی در جهت های +y یا -y فروپاشی می کنند ، برای نشان دادن راه حل ها در مسائلی که در آن یک نیمه فاصله نامتناهی در نظر گرفته می شود، مفید هستند.

راه حل های جدول 5.4.1 در کل صفحه xy غیر منفرد هستند . این بدان معنی است که معادله لاپلاس در همه جای صفحه xy محدود رعایت می شود ، و از این رو خطوط میدان پیوسته هستند. ظاهر یا ناپدید نمی شوند. طرح‌ها نشان می‌دهند که با پیشروی در جهت مثبت و منفی y ، میدان‌ها قوی‌تر و قوی‌تر می‌شوند . خطوط میدان الکتریکی از بارهای مثبت سرچشمه می گیرند و با بارهای منفی در y خاتمه می یابند . بنابراین، برای نمودارهای نشان داده شده در شکل. 5.4.1 و 5.4.2، توزیع بار در بی نهایت باید از توزیع متناوب بارهای مثبت و منفی با دامنه بی نهایت تشکیل شده باشد.

دو مشاهدات نهایی برای درک بیشتر ماهیت راه حل های معادله لاپلاس مفید است. اول، بعد سوم را می توان برای نشان دادن پتانسیل به روش شکل 4.1.4 استفاده کرد، به طوری که سطح پتانسیل شکل غشایی را داشته باشد که از مرزهایی کشیده شده است که متناسب با پتانسیل آنها بالا رفته است.

معادله لاپلاس، (1)، مستلزم آن است که مجموع کمیت هایی که انحناها را در جهت های x و y منعکس می کنند ناپدید شوند. اگر مشتق دوم یک تابع مثبت باشد، به سمت بالا خمیده می شود. و اگر منفی باشد به سمت پایین خمیده می شود. اگر انحنا در جهت x مثبت باشد ، باید در جهت y منفی باشد . بنابراین، در مبدأ شکل 5.4.1، پتانسیل برای گشت و گذار در جهت x به سمت پایین کاهش می یابد، و بنابراین برای تغییرات در جهت y باید به سمت بالا جمع شود . یک کسر مشابه باید در هر نقطه از صفحه xy اعمال شود .

دوم، چون k که در توابع تناوبی ستون دوم در جدول 5.4.1 ظاهر می شود با توابع نمایی و هذلولی یکسان است، واضح است که هر چه سرعت تغییرات تناوبی بیشتر باشد، زوال یا زوال سریعتر است. رشد ظاهری

جدول 5.4.1 راه حل های دکارتی دوبعدی معادله لاپلاس

k = 0	k ^2 0	k ^2 0 (k jk ' )
ثابت	cos kx cosh ky	cosh k ' x cos k ' y
y	cos kx sinh ky	cosh k ' x sin k ' y
x	sin kx cosh ky	sinh k ' x cos k ' y
xy	sin kx sinh ky	sinh k ' x sin k ' y
	cos kx e^ ky	e^ k'x cos k ' y
	cos kx e^ -ky	e ^-k'x cos k ' y
	sin kx e ^ky	e ^k'x sin k ' y
	sin kx e^ -ky	e ^-k'x sin k ' y

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter5/5.4.html