ریاضیات

هر یک از راه‌حل‌های به‌دست‌آمده در بخش قبل با جداسازی متغیرها می‌تواند با یک پتانسیل مناسب اعمال شده بر روی جفت‌های سطوح موازی در صفحات x = ثابت و y = ثابت تولید شود. به عنوان مثال، راه حل چهارم در ستون k 2 0 جدول 5.4.1 را در نظر بگیرید که با ضریب ثابت

شکل 5.5.1 دو عدد از تعداد نامتناهی توابع پتانسیل با شکل (1) که با شرایط مرزی = 0 در y = 0 و در x = 0 و x = a مطابقت دارند .

این راه حل در صفحه y = 0 = 0 و در صفحات x = n /k است که n یک عدد صحیح است. فرض کنید k = n /a را طوری تنظیم کنیم که در صفحه y = a نیز = 0 باشد. سپس در y = b پتانسیل (1)

وابستگی سینوسی به x دارد . اگر پتانسیل شکل (2) در امتداد سطح در y = b اعمال شود ، و سطوح در x = 0، x = a و y = 0 در پتانسیل صفر نگه داشته شوند (مثلاً توسط هادی های مسطح که در پتانسیل صفر)، پس پتانسیل، (1)، در فضای 0 < x < a، 0 < y < b وجود خواهد داشت . الکترودهای قطعه بندی شده با هر بخش محدود به پتانسیل مناسب می توانند برای تقریب توزیع در y = b استفاده شوند . نمودارهای پتانسیل و میدان برای n = 1 و n = 2 در شکل 5.5.1 آورده شده است. توجه داشته باشید که قضیه Sec. 5.2 تضمین می کند که پتانسیل مشخص شده منحصر به فرد است.

اما در صورتی که پتانسیل های دیوار برای تناسب دقیق با راه حل به دست آمده از جداسازی متغیرها محدود نباشند، چه کاری می توان برای توصیف میدان انجام داد؟ برای مثال، فرض کنید که میدان‌ها در همان ناحیه با مقطع مستطیلی مورد نظر هستند، اما الکترود در y = b محدود به داشتن پتانسیل v مستقل از x است . پیکربندی اکنون همانطور که در شکل 5.5.2 نشان داده شده است.

شکل 5.5.2 مقطع شکاف مستطیلی با پتانسیل صفر با الکترودی که دارای پتانسیل v در بالا قرار دارد.

یک خط حمله با تعداد نامتناهی راه حل، با شکل (1) پیشنهاد می شود که شرایط مرزی را در سه دیوار از چهار دیوار برآورده می کند. اصل برهم نهی روشن می کند که هر ترکیب خطی از اینها نیز یک راه حل است، بنابراین اگر اجازه دهیم A n ضرایب دلخواه باشد، یک راه حل کلی تر است.

توجه داشته باشید که به k مقادیری نسبت داده شده است که تابع سینوس در صفحات x = 0 و x = a صفر باشد . حال چگونه می‌توانیم ضرایب را طوری تنظیم کنیم که شرایط مرزی در الکترود رانده، در y = b برقرار باشد؟ یکی از روش‌هایی که مجبور به استفاده از آن نخواهیم بود، با روش عددی شرح داده شده در Sec پیشنهاد می‌شود. 4.8. الکترود را می توان به بخش های N تقسیم کرد و (3) در نقطه مرکزی هر یک از بخش ها ارزیابی شد. اگر سری نامتناهی در N عبارت کوتاه شود، نتیجه N معادله ای خواهد بود که در N مجهول A n خطی هستند . این سیستم معادلات را می توان برای تعیین A n معکوس کرد . جایگزینی اینها در (3) سپس شامل راه حلی برای مسئله مقدار مرزی می شود. متأسفانه، برای دستیابی به دقت معقول، مقادیر زیادی N مورد نیاز است و به یک رایانه نیاز است.

قدرت رویکرد جداسازی متغیرها در این است که به راه حل هایی منجر می شود که متعامد هستند به این معنا که تعیین صریح ضرایب A n را ممکن می سازد . ارزیابی ضرایب بسیار ساده است. ابتدا، (3) روی سطح الکترود که پتانسیل آن مشخص است، ارزیابی می شود.

در سمت راست مجموعه نامتناهی از توابع سینوسی با ضرایبی است که باید تعیین شوند. در سمت چپ تابعی از x است . هر دو طرف عبارت را در sin (m x/a) ضرب می کنیم ، جایی که m یک عدد صحیح است، و سپس هر دو طرف عبارت در عرض سیستم یکپارچه می شوند.

توابع sin (n x/a) و sin (m x/a) متعامد هستند به این معنا که انتگرال حاصلضرب آنها در بازه مشخص شده صفر است، مگر اینکه m = n .

بنابراین، تمام عبارت‌های سمت راست در (5) ناپدید می‌شوند، به جز موردی که n=m دارد . البته m می تواند هر عدد صحیحی باشد، بنابراین می توانیم (5) را برای دامنه m حل کنیم و سپس m را با n جایگزین کنیم .

با توجه به هر توزیع پتانسیل در سطح y = b ، این انتگرال را می توان انجام داد و از این رو ضرایب را تعیین کرد. در این مشکل خاص، پتانسیل v در هر نقطه از سطح الکترود است. بنابراین، (7) برای دادن ارزیابی می شود

در نهایت، جایگزینی این ضرایب به (3) پتانسیل مورد نظر را می دهد.

هر عبارت ضرب در این سری نامتناهی معادله لاپلاس و شرایط پتانسیل صفر را در سه سطحی که منطقه مورد نظر را در بر می گیرد، برآورده می کند. مجموع شرط بالقوه در مرز "آخرین" را برآورده می کند . توجه داشته باشید که مجموع به تنهایی به صورت حاصلضرب تابع x و تابع y به تنهایی نیست.

بسط مودال با توزیع دلخواه پتانسیل در مرز "آخرین" قابل اعمال است. اما اگر توزیع دلخواه پتانسیل را در هر چهار صفحه ای که منطقه مورد نظر را در بر می گیرد، داشته باشیم، چه؟ اصل برهم نهی استفاده از مجموع چهار راه حل از نوع نشان داده شده در اینجا را توجیه می کند. به مجموعه راه حلی که قبلاً پیدا شده است، سه راه حل دیگر اضافه شده است که هر کدام مشابه راه حل قبلی هستند، اما 90 درجه چرخیده اند. از آنجایی که هر یک از چهار سری فقط در قسمتی از مرزی که سری آن به آن اعمال می شود پتانسیل محدودی دارد، مجموع آن چهار تمام شرایط مرزی را برآورده می کند.

پتانسیل ارائه شده توسط (9) در شکل 5.5.3 نشان داده شده است. در تصویر سه بعدی، به ویژه واضح است که میدان در گوشه هایی که الکترود رانده شده با دیوارهای زمین شده برخورد می کند، بی نهایت بزرگ است. جایی که میدان الکتریکی از الکترود رانده می‌شود، بار سطحی وجود دارد، بنابراین در گوشه‌ها چگالی بار سطحی نامحدود وجود دارد. البته در عمل فاصله بینهایت کوچک و فیلدها بی نهایت نیست.

شکل 5.5.3 خطوط پتانسیل و میدان برای پیکربندی شکل 5.5.2، (9)، با استفاده از مختصات عمودی برای نمایش پتانسیل نشان داده شده و در صفحه x - y نشان داده شده است.

نمایش 5.5.1 . تضعیف کننده ظرفیت

از آنجا که هیچ یک از قوانین میدان در این فصل مشتقات زمانی را شامل نمی شود، فیلدی که تعیین شده است برای v = v(t) صحیح است ، یک تابع دلخواه از زمان. در نتیجه، ضرایب A n نیز تابعی از زمان هستند. بنابراین، بارهای القا شده بر روی دیواره‌های جعبه زمانی متغیر است، همانطور که می‌توان دید اگر دیوار در y = 0 از دیواره‌های جانبی زمین جدا شده و از طریق یک مقاومت به زمین متصل شود. پیکربندی در شکل 5.5.4 به صورت مقطعی نشان داده شده است. مقاومت R به اندازه ای کوچک است که پتانسیل v o در مقایسه با v کوچک است .

شکل 5.5.4 پایین شکاف با یک الکترود عایق متصل به زمین از طریق یک مقاومت کم جایگزین شده است تا بتوان جریان القایی را اندازه گیری کرد.

بار القا شده بر روی این الکترود خروجی با اعمال قانون انتگرال گاوس با سطح یکپارچه ای که الکترود را در بر می گیرد، پیدا می شود. عرض الکترود در جهت z w است ، بنابراین

این عبارت با استفاده از (9) ارزیابی می شود.

بقای بار مستلزم آن است که جریان عبوری از مقاومت، نرخ تغییر این بار نسبت به زمان باشد. بنابراین، ولتاژ خروجی است

و اگر v = V sin t ، پس

آزمایش نشان داده شده در شکل 5.5.5 برای نشان دادن وابستگی ولتاژ خروجی به فاصله b بین الکترودهای ورودی و خروجی طراحی شده است. از (13) و (11) نتیجه می شود که این ولتاژ را می توان به صورت نرمال شده به صورت نوشتاری

شکل 5.5.5 نمایش تضعیف کننده الکتروکوازیستاتیک که در آن ولتاژ خروجی نرمال شده به عنوان تابعی از فاصله بین الکترودهای ورودی و خروجی نرمال شده به ابعاد کوچکتر جعبه اندازه گیری می شود. ولتاژ نرمال کننده U با (14) تعریف می شود. الکترود خروجی با استفاده از میله عایق متصل قرار می گیرد. در حین کار، یک درب فلزی کنار جعبه را می پوشاند

بنابراین، لاگ طبیعی ولتاژ نرمال شده به فاصله الکترود نشان داده شده در شکل 5.5.5 بستگی دارد. توجه داشته باشید که با افزایش b/a تابع به سرعت به یک خط مستقیم تبدیل می شود. در حد b/a بزرگ ، سینوس هذلولی را می توان با exp (nb /a)/2 و سری را با یک جمله تقریب زد. بنابراین، وابستگی ولتاژ خروجی به فاصله الکترود به سادگی می شود

و بنابراین شیب مجانبی منحنی - است .

بارهای القا شده بر روی الکترود ورودی تصاویر خود را یا روی دیواره های جانبی جعبه یا روی الکترود خروجی دارند. اگر b/a کوچک باشد، تقریباً همه این تصاویر روی الکترود خروجی هستند، اما با برداشتن آن، تعداد بیشتری از تصاویر در دیواره‌های جانبی و تعداد کمتری روی الکترود خروجی قرار می‌گیرند.

در نگاهی به گذشته، چندین موضوع وجود دارد که جای بحث بیشتر دارد. اول، پتانسیل استفاده شده به عنوان نقطه شروع در این بخش، (1)، یکی از فهرست چهار تایی جدول 5.4.1 است. برای انتخاب فرم مناسب از چه نوع روشی می توان استفاده کرد؟ به طور کلی، راه حلی که برای برآوردن شرایط مرزی پتانسیل صفر در سه سطح "اول" استفاده می شود، ترکیبی خطی از چهار راه حل ممکن است. بنابراین، با A به ضرایب نامشخص، شکل کلی راه حل است

به طور رسمی، (1) با حذف سه ضریب از این چهار ضریب انتخاب شد. دو مورد اول باید ناپدید شوند زیرا تابع باید در x = 0 صفر باشد . سومی حذف می شود زیرا پتانسیل باید در y = 0 صفر باشد . بنابراین، ما به آخرین جمله هدایت می‌شویم، که اگر A 4 = A ، (1) است.

حذف روشی راه حل ها ضروری است. از آنجایی که مبدأ مختصات دلخواه است، تنظیم یک عبارت ساده برای پتانسیل موضوعی است که مبدأ مختصات را به درستی انتخاب کنیم تا حد امکان بسیاری از راه حل ها (16) حذف شوند. ما به طور عمدی مبدأ را انتخاب می کنیم تا یک عبارت واحد از چهار مورد در (16) شرایط مرزی را در x = 0 و y = 0 برآورده کند . انتخاب راه حل های ضرب از لیست باید با انتخاب مختصات تداخل داشته باشد. برخی از ترکیب ها بسیار راحت تر از سایرین هستند. این موضوع در این فصل و فصل های بعدی به طور مثال بیان خواهد شد.

بقیه این بخش به بحث مفصل تری در مورد انبساط در سینوسی ها که با (9) نشان داده شده اند، اختصاص دارد. در صفحه y = b ، توزیع پتانسیل به این شکل است

جایی که روش تعیین ضرایب منجر به (8) شده است، که در اینجا بر حسب ضرایب V n از (17) نوشته شده است.

تقریب پتانسیل v که در طول دهانه الکترود محرک یکنواخت است در شکل 5.5.6 نشان داده شده است. معادله (17) یک موج مربعی از دوره 2a را نشان می دهد که در تمام x، - امتداد دارد . نیمی از یک دوره همانطور که در شکل نشان داده شده است. می توان این توزیع را تنها بر حسب سینوسی نشان داد زیرا بر حسب x فرد است . به طور کلی، یک تابع تناوبی با یک سری فوریه از هر دو سینوس و کسینوس نشان داده می شود. در مسئله حاضر، کسینوس وجود ندارد زیرا پتانسیل باید در x = 0 و x = a صفر باشد . مطالعه یک سری فوریه نشان می‌دهد که این سری به تابع واقعی همگرا می‌شود به این معنا که در حد تعداد نامتناهی عبارت،

که در آن (x) توزیع پتانسیل واقعی و F(x) تقریب سری فوریه است.

شکل 5.5.6 تقریب سری فوریه به موج مربعی که توسط (17) و (18) ارائه شده است، به طور متوالی یک، دو و سه عبارت را نشان می دهد. عبارات مرتبه بالاتر تمایل به پر کردن ناپیوستگی شدید در x = 0 و x = a دارند . خارج از محدوده مورد نظر، سری تابعی از x با طول تناوب 2a را نشان می دهد .

برای مشاهده کلیت رویکرد مثال‌شده در اینجا، نشان می‌دهیم که ویژگی متعامد توابع X(x) از معادله دیفرانسیل و شرایط مرزی ناشی می‌شود. بنابراین، جای تعجب نیست که راه حل های موجود در سایر سیستم های مختصات نیز دارای خاصیت متعامد هستند.

در همه موارد، ویژگی متعامد با هر یک از عوامل در راه حل ضرب مرتبط است. برای مسئله دکارتی در نظر گرفته شده در اینجا، X(x) است که شرایط مرزی را در دو نقطه در فضا برآورده می کند. این امر با تنظیم مقدار ویژه k n = n /a به گونه ای تضمین می شود که تابع یا حالت ویژه، sin (n x/a) در x = 0 و x = a صفر باشد . این تابع (5.4.4) و شرایط مرزی را برآورده می کند.

زیرنویس m برای تشخیص اینکه تعداد بی نهایت راه حل برای این مشکل وجود دارد استفاده می شود. یک راه حل دیگر، مثلاً n -th، باید این معادله و شرایط مرزی را برآورده کند.

ویژگی متعامد برای این حالت ها، که در ارزیابی ضرایب بسط سری مورد استفاده قرار می گیرد،

برای اثبات این شرط به طور کلی، (20) را در X n ضرب می کنیم و بین نقاطی که شرایط مرزی اعمال می شود، ادغام می کنیم.

با شناسایی u = X n و v = dX m /dx ، عبارت اول توسط قطعات یکپارچه می شود تا به دست آید.

اولین عبارت سمت راست به دلیل شرایط مرزی ناپدید می شود. بنابراین، (23) تبدیل می شود

اگر همین مراحل با n و m تعویض شوند، نتیجه (25) با n و m مبادله می شود. از آنجایی که جمله اول در (25) با همتای خود در این معادله دوم یکسان است، از تفریق دو عبارت به دست می آید.

بنابراین، توابع متعامد هستند مشروط بر اینکه k n k m . برای این مشکل خاص، توابع ویژه X n = sin (n /a) و مقادیر ویژه kn = n / a هستند . اما به طور کلی می‌توان انتظار داشت که راه‌حل‌های ضرب ما برای معادله لاپلاس در سایر سیستم‌های مختصات منجر به مجموعه‌ای از توابع با ویژگی‌های متعامد مشابه شود.

https://web.mit.edu/6.013_book/www/chapter5/5.5.html