4-نماد برا-کت

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه دوم آذر ۱۴۰۲ | 14:21

مشکلات و کاربردهای مبهم

برخی قراردادها و کاربردهای نمادگذاری وجود دارد که ممکن است برای دانش‌آموزان تازه کار یا ابتدایی گیج کننده یا مبهم باشد.

جداسازی ضرب داخلی و بردارها

یکی از دلایل سردرگمی این است که نماد عملیات ضرب داخلی را از نماد یک بردار (برا) جدا نمی کند. اگر یک بردار سینه‌بند (دو فضایی) به‌عنوان ترکیبی خطی از سایر بردارهای سینه‌بند ساخته شود (مثلاً هنگام بیان آن بر اساس برخی از پایه‌ها)، نماد ابهام ایجاد می‌کند و جزئیات ریاضی را پنهان می‌کند. می‌توانیم نماد برا-کت را با استفاده از بولد برای بردارها مقایسه کنیم، مانند ${\boldsymbol {\psi }}$ ، و $(\cdot,\cdot)$ برای ضرب داخلی بردار برا فضای دوگانه زیر را در پایه در نظر بگیرید $\{|e_{n}\rangle \}$ :

$\langle \psi |=\sum _{n}\langle e_{n}|\psi _{n}$

اگر اعداد مختلط باشد، باید طبق قرارداد تعیین شود $\{\psi _{n}\}$ داخل یا خارج ضرب داخلی هستند و هر قراردادی نتایج متفاوتی را به همراه دارد.

$\langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}$

$\langle \psi |\equiv ({\boldsymbol {\psi }},\cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n}\psi _{n},\ cdot )=\sum _{n}({\boldsymbol {e}}_{n},\cdot )\,\psi _{n}^{*}$

استفاده مجدد از نمادها

استفاده از نماد یکسان برای برچسب ها و ثابت ها معمول است . مثلا، ${\hat {\alpha }}|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle$ ، جایی که نماد $\ آلفا$ به طور همزمان به عنوان نام اپراتور استفاده می شود ^ $\ کلاه \ آلفا$ ، بردار ویژه آن $|\alpha\rangle$ و مقدار ویژه مرتبط $\ آلفا$ . گاهی اوقات کلاه نیز برای اپراتورها رها می شود و می توان نمادهایی مانند $A|a\rangle =a|a\rangle$ .

مزدوج هرمیتی از کت ها

مشاهده کاربرد رایج است $|\psi \rangle ^{\dagger }=\langle \psi |$ ، جایی که خنجر († $\خنجر$ ) با مزدوج هرمیتین مطابقت دارد . اما این از نظر فنی صحیح نیست، زیرا کت، $|\psi \rangle$ ، یک بردار را در فضای مختلط هیلبرت نشان می دهد ${\mathcal {H}}$ و برا، $\langle \psi |$ ، یک تابع خطی بر روی بردارهای در است ${\mathcal {H}}$ . به عبارت دیگر، $|\psi \rangle$ فقط یک بردار است، در حالی که $\langle \psi |$ ترکیبی از یک بردار و یک ضرب درونی است.

عملیات داخل برا و کت

این برای نمادگذاری سریع بردارهای مقیاس‌بندی انجام می‌شود. به عنوان مثال، اگر بردار $|\alpha\rangle$ مقیاس بندی شده است $1/{\sqrt {2}}$ ، ممکن است نشان داده شود/2 $|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle$ . این می تواند مبهم باشد زیرا $\ آلفا$ صرفاً یک برچسب برای یک حالت است و نه یک شیء ریاضی که می توان عملیات را روی آن انجام داد. این استفاده زمانی که بردارها را به‌عنوان ضربات تانسور نشان می‌دهند، رایج‌تر است، جایی که بخشی از برچسب‌ها به خارج از شکاف طراحی شده منتقل می‌شوند، به عنوان مثال. $|\alpha \rangle =|\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{1}\otimes |\alpha /{\sqrt {2}}\rangle _{2}$ .

عملگرهای خطی

همچنین ببینید: عملگر خطی

عملگرهای خطی که روی کت ها عمل می کنند

عملگر خطی نقشه ای است که یک کت را ورودی و یک کت را خروجی می کند. ( برای اینکه «خطی» نامیده شود، باید ویژگی های خاصی داشته باشد .) به عبارت دیگر، اگر $\ کلاه A$ عملگر خطی است و $|\psi \rangle$ پس یک کت-بردار است ${\hat {A}}|\psi \rangle$ کت-بردار دیگری است.

در یکن $ن$ -بعدی فضای هیلبرت، می توانیم مبنایی را بر فضا تحمیل کنیم و به نمایش بگذاریم $|\psi \rangle$ از نظر مختصات آن به عنوان a $N \ برابر 1$ بردار ستون . با استفاده از همان مبنای برای $\ کلاه A$ ، با یک نشان داده می شود $N\ برابر N$ ماتریس مختلط بردار کت ${\hat {A}}|\psi \rangle$ اکنون می توان با ضرب ماتریس محاسبه کرد .

عملگرهای خطی در نظریه مکانیک کوانتومی در همه جا حضور دارند. به عنوان مثال، کمیت های فیزیکی قابل مشاهده توسط عملگرهای خود الحاقی مانند انرژی یا تکانه نشان داده می شوند ، در حالی که فرآیندهای تبدیلی توسط عملگرهای خطی واحد مانند چرخش یا پیشرفت زمان نشان داده می شوند.

عملگرهای خطی که بر روی برا عمل می کنند

اپراتورها همچنین می توانند به عنوان عمل بر روی برا از سمت راست دیده شوند . به طور خاص، اگر A یک عملگر خطی باشد و φ یک برا است، سپس φ A برا دیگری است که توسط قانون تعریف شده است

${\bigl (}\langle \phi |{\boldsymbol {A}}{\bigr )}|\psi \rangle =\langle \phi |{\bigl (}{\boldsymbol {A}}|\ psi \rangle {\bigr )}\,,$

(به عبارت دیگر، یک ترکیب تابع ). این عبارت معمولاً به صورت (ر.ک. ضرب درونی انرژی ) نوشته می‌شود.

$\langle \phi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,.$

در فضای هیلبرت N بعدی، φ را می توان به عنوان یک بردار ردیف 1 × N نوشت و A (مانند بخش قبل) یک ماتریس N × N است. سپس برا φ A را می توان با ضرب ماتریس معمولی محاسبه کرد .

اگر بردار حالت یکسانی در سمت برا و کت ظاهر شود،

$\langle \psi |{\boldsymbol {A}}|\psi \rangle \,,$

سپس این عبارت مقدار انتظاری ، یا مقدار میانگین یا میانگین، قابل مشاهده را می دهد که توسط عملگر A برای سیستم فیزیکی در حالت نمایش داده شده است ψ .

ضرب بیرونی

یک روش راحت برای تعریف عملگرهای خطی در فضای هیلبرت H با حاصلضرب بیرونی ارائه شده است : اگر ϕ برا است و ψ یک کت است، ضرب بیرونی

$|\phi \rangle \,\langle \psi |$

عملگر رتبه یک را با قانون نشان می دهد

${\bigl (}|\phi \rangle \langle \psi |{\bigr )}(x)=\langle \psi |x\rangle |\phi \rangle .$

برای یک فضای برداری با ابعاد محدود، حاصل ضرب بیرونی را می توان به صورت ضرب ماتریس ساده درک کرد:

$|\phi \rangle \,\langle \psi |\doteq {\begin{pmatrix}\phi _{1}\\\phi _{2}\\\vdots \\\phi _{N}\ end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{1}^{*}&\psi _{2}^{*}&\cdots &\psi _{N}^{*}\end{pmatrix }}={\begin{pmatrix}\phi _{1}\psi _{1}^{*}&\phi _{1}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{ 1}\psi _{N}^{*}\\\phi _{2}\psi _{1}^{*}&\phi _{2}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{2}\psi _{N}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\phi _{N}\psi _{1}^{*}&\ فی _{N}\psi _{2}^{*}&\cdots &\phi _{N}\psi _{N}^{*}\end{pmatrix}}$

ضرب بیرونی یک ماتریس N × N است ، همانطور که برای یک عملگر خطی انتظار می رود.

یکی از کاربردهای ضرب بیرونی ساخت عملگرهای طرح ریزی است . با توجه به کت ψ از هنجار 1، طرح ریزی متعامد بر روی فضای فرعی که توسط ψ است

$|\psi \rangle \,\langle \psi |\,.$

این یک ناتوانی در جبر قابل مشاهده است که در فضای هیلبرت عمل می کند.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی