مقدار انتظار (مکانیک کوانتومی)

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه دوم آذر ۱۴۰۲ | 10:54

از ویکیپدیا، دانشنامه زاد

در مکانیک کوانتومی ، مقدار انتظاری ، مقدار مورد انتظار احتمالی نتیجه (اندازه گیری) یک زمایش است . می‌توان ن را به‌عنوان میانگینی از تمام نتایج ممکن یک اندازه‌گیری در نظر گرفت که بر اساس احتمال ن‌ها وزن می‌شوند، و به این ترتیب، محتمل‌ترین مقدار یک اندازه‌گیری نیست. در واقع مقدار مورد انتظار ممکن است احتمال وقوع صفر داشته باشد (مثلاً اندازه‌گیری‌هایی که فقط می‌توانند مقادیر صحیح را به دست ورند، ممکن است یک میانگین غیر صحیح داشته باشند). این یک مفهوم اساسی در تمام زمینه های فیزیک کوانتومی است .

تعریف عملیاتی [ ویرایش ]

یک اپراتور را در نظر بگیرید $آ$ . ارزش انتظار پس از ن است $\langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle$ در نماد دیراک با $|\psi \rangle$ یک بردار حالت نرمال شده

فرمالیسم در مکانیک کوانتومی [ ویرایش ]

در تئوری کوانتومی، یک چیدمان زمایشی توسط قابل مشاهده توصیف می شود $آ$ اندازه گیری شود و وضعیت $\سیگما$ از سیستم ارزش انتظاری از $آ$ در ایالت $\سیگما$ به عنوان مشخص می شود $\langle A \rangle_\sigma$ .

از نظر ریاضی، $آ$ یک اپراتور خود الحاقی در فضای هیلبرت است . در رایج ترین مورد استفاده شده در مکانیک کوانتومی، $\سیگما$ یک حالت خالص است که توسط یک بردار نرمال شده [a] توصیف می شود $\psi$ در فضای هیلبرت ارزش انتظاری از $آ$ در ایالت $\psi$ به عنوان ... تعریف شده است

$\langle A\rangle _{\psi }=\langle \psi |A|\psi \rangle .$

( 1 )

اگر دینامیک در نظر گرفته شود، یا بردار $\psi$ یا اپراتور $آ$ بسته به اینکه از عکس شرودینگر یا عکس هایزنبرگ استفاده شده باشد، وابسته به زمان است. با این حال، تکامل ارزش انتظاری به این انتخاب بستگی ندارد.

اگر $آ$ مجموعه کاملی از بردارهای ویژه دارد $\phi _{j}$ ، با مقادیر ویژه $a_{j}$ ، سپس ( 1 ) را می توان به صورت [1] بیان کرد.

$\langle A\rangle _{\psi }=\sum _{j}a_{j}|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}.$

( 2 )

این عبارت شبیه به میانگین حسابی است و معنای فیزیکی فرمالیسم ریاضی را نشان می دهد: مقادیر ویژه. $a_{j}$ نتایج احتمالی زمایش، [b] و ضریب مربوط به نها هستند $|\langle \psi | \phi_j \rangle|^2$ احتمال وقوع این نتیجه است. اغلب به ن احتمال انتقال می گویند .

یک مورد به خصوص ساده زمانی که $آ$ یک طرح ریزی است و بنابراین فقط دارای مقادیر ویژه 0 و 1 است. این از نظر فیزیکی با یک نوع زمایش "بله-خیر" مطابقت دارد. در این مورد، مقدار انتظار احتمالی است که زمایش به "1" منجر شود، و می توان ن را به صورت محاسبه کرد.

$\langle A\rangle _{\psi }=\|A|\psi \rangle \|^{2}.$

( 3 )

در تئوری کوانتومی، ممکن است یک عملگر یک طیف غیر گسسته مانند عملگر موقعیت داشته باشد. $ایکس$ در مکانیک کوانتومی این عملگر دارای یک طیف کاملاً پیوسته است ، با مقادیر ویژه و بردارهای ویژه بسته به یک پارامتر پیوسته، $ایکس$ . به طور خاص، اپراتور $ایکس$ بر روی یک بردار فضایی عمل می کند $| x\rangle$ مانند $X|x\rangle =x|x\rangle$ . [2] در این مورد، بردار $\psi$ را می توان به عنوان یک تابع با ارزش مختلط نوشت $\psi (x)$ در طیف $ایکس$ (معمولا خط حقیقی). این به طور رسمی با طرح بردار حالت به دست می ید $|\psi \rangle$ بر روی مقادیر ویژه عملگر، مانند حالت گسسته ${\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }$ . این اتفاق می افتد که بردارهای ویژه عملگر موقعیت یک مبنای کامل برای فضای برداری حالته〈 ها تشکیل می دهند و بنابراین از یک رابطه کامل در مکانیک کوانتومی پیروی می کنند :

$\int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I}$

موارد فوق ممکن است برای استخراج عبارت مشترک و انتگرال برای مقدار مورد انتظار ( 4 )، با درج هویت در عبارت برداری مقدار مورد انتظار، و سپس گسترش در مبنای موقعیت استفاده شوند:

${\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} | \psi \rangle \\&=\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\inint \langle x |\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*} x'\delta (xx')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi ( x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{تراز شده}}$

جایی که رابطه متعارف بردارهای پایه موقعیت $\langle x|x'\rangle =\delta (xx')$ ، انتگرال دوگانه را به یک انتگرال منفرد کاهش می دهد. خط خر از مدول یک تابع با ارزش مختلط برای جایگزینی استفاده می کند∗ $\psi ^{*}\psi$ با $|\psi |^{2}$ ، که یک جایگزین رایج در انتگرال های مکانیکی کوانتومی است.

سپس مقدار انتظار ممکن است بیان شود، جایی که x نامحدود است، به عنوان فرمول

$\langle X\rangle _{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }\,x\,|\psi (x)|^{2}\,dx.$

( 4 )

یک فرمول مشابه برای عملگر تکانه ، در سیستم هایی که دارای طیف پیوسته است، صادق است.

تمام فرمول های فوق برای حالت های خالص معتبر هستند $\سیگما$ فقط. به طور برجسته در ترمودینامیک و اپتیک کوانتومی ، حالت های مختلط نیز اهمیت دارند. اینها توسط یک اپراتور کلاس ردیابی مثبت توصیف می شوند ${\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$ , عملگر ماری یا ماتریس چگالی . سپس مقدار انتظار را می توان به عنوان به دست ورد

$\langle A\rangle _{\rho }=\operatorname {Trace} (\rho A)=\sum _{i}p_{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{ i}\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{\psi _{i}}.$

( 5 )

فرمول کلی [ ویرایش ]

به طور کلی حالت های کوانتومی $\سیگما$ با توابع خطی نرمال شده مثبت در مجموعه ای از قابل مشاهده ها توصیف می شوند، که از نظر ریاضی اغلب به عنوان جبر C* در نظر گرفته می شوند . ارزش انتظاری یک قابل مشاهده $آ$ سپس توسط داده می شود

=().

$\langle A\rangle _{\sigma }=\sigma (A).$

( 6 )

اگر جبر قابل مشاهده ها به صورت تقلیل ناپذیر روی فضای هیلبرت عمل کند ، و اگر $\سیگما$ یک تابع عادی است ، یعنی در توپولوژی فوق ضعیف پیوسته است ، سپس می توان ن را به صورت نوشتاری

$\sigma (\cdot )=\operatorname {Tr} (\rho \;\cdot )$ با اپراتور کلاس ردیابی مثبت $\rho$ از ردیابی 1. این فرمول ( 5 ) در بالا را می دهد. در مورد حالت خالص ، $\rho= |\psi\rangle\langle\psi|$ یک طرح بر روی یک بردار واحد است $\psi$ . سپس $\sigma = \langle \psi |\cdot \; \psi\rangle$ ، که فرمول ( 1 ) را در بالا می دهد.

$آ$ فرض می شود که یک اپراتور خود الحاقی است. در حالت کلی، طیف ن نه کاملاً گسسته و نه کاملاً پیوسته خواهد بود. با این حال، می توان نوشت $آ$ در یک تجزیه طیفی ،

$A=\int a\,dP(a)$ با یک اندازه گیری با ارزش پروژکتور $پ$ . برای ارزش انتظاری از $آ$ در حالت خالص $\sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle$ ، این یعنی

$\langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,$ که ممکن است به عنوان تعمیم رایج فرمول های ( 2 ) و ( 4 ) بالا دیده شود.

در نظریه های غیر نسبیتی ذرات بسیار محدود (مکانیک کوانتومی، به معنای دقیق)، حالت های در نظر گرفته شده به طور کلی نرمال هستند [ توضیحات لازم ] . با این حال، در سایر حوزه‌های نظریه کوانتومی، حالت‌های غیر نرمال نیز مورد استفاده قرار می‌گیرند: برای مثال، نها ظاهر می‌شوند. در قالب حالت های KMS در مکانیک ماری کوانتومی رسانه های بی نهایت گسترده، [3] و به عنوان حالت های باردار در نظریه میدان کوانتومی . [4] در این موارد، مقدار انتظار تنها با فرمول کلی تر تعیین می شود ( 6 ).

مثال در فضای پیکربندی [ ویرایش ]

به عنوان مثال، یک ذره مکانیکی کوانتومی را در یک بعد فضایی، در نمایش فضای پیکربندی در نظر بگیرید . اینجا فضای هیلبرت است $\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})$ ، فضای توابع قابل ادغام مربع روی خط حقیقی. بردارها $\psi\in\mathcal{H}$ توسط توابع نشان داده می شوند $\psi (x)$ ، توابع موج نامیده می شود . حاصل ضرب اسکالر توسط ${\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}$ . توابع موج یک تفسیر مستقیم به عنوان توزیع احتمال دارند:

$\rho (x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx$

احتمال یافتن ذره را در بازه ای بینهایت کوچک می دهدد $dx$ در مورد یک نقطه $ایکس$ .

به عنوان یک قابل مشاهده، عملگر موقعیت را در نظر بگیرید $س$ ، که بر روی توابع موج عمل می کند $\psi$ توسط

$(Q\psi )(x)=x\psi (x).$

مقدار انتظار یا مقدار میانگین اندازه گیری ها از $س$ انجام شده بر روی تعداد بسیار زیادی از سیستم های مستقل یکسان توسط داده خواهد شد

$\langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\ ,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\rho (x)\,dx.$

مقدار انتظار فقط در صورتی وجود دارد که انتگرال همگرا شود، که برای همه بردارها صدق نمی کند $\psi$ . این به این دلیل است که عملگر موقعیت نامحدود است و $\psi$ باید از دامنه تعریف ن انتخاب شود .

به طور کلی، انتظار هر قابل مشاهده را می توان با جایگزینی محاسبه کردس $س$ با اپراتور مناسب به عنوان مثال، برای محاسبه تکانه متوسط، از عملگر تکانه در فضای پیکربندی استفاده می شود . ${\textstyle \mathbf {p} =-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}$ . به صراحت، ارزش انتظاری است

$\langle \mathbf {p} \rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.$

همه اپراتورها به طور کلی یک مقدار قابل اندازه گیری ارائه نمی دهند. عملگری که دارای مقدار انتظار حقیقی خالص است، قابل مشاهده نامیده می شود و مقدار ن را می توان مستقیماً در زمایش اندازه گیری کرد.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

ضریب ریلی
اصل عدم قطعیت
قضیه ویروسی

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation_value_%28quantum_mechanics%29

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی