7-تابع موج

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و ششم خرداد ۱۴۰۲ | 3:8

وابستگی به زمان [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تصاویر پویا

برای سیستم هایی در پتانسیل های مستقل از زمان، تابع موج را همیشه می توان به عنوان تابعی از درجات آزادی ضرب در ضریب فاز وابسته به زمان، که شکل آن با معادله شرودینگر به دست می آید، نوشت. برای ذرات N ، تنها با در نظر گرفتن موقعیت آنها و سرکوب سایر درجات آزادی،

$\Psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=e^{-iEt/\hbar }\,\psi (\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\,,$

که در آن E مقدار ویژه انرژی سیستم مربوط به حالت ویژه Ψ است . توابع موجی این شکل را حالت های ساکن می نامند .

وابستگی زمانی حالت کوانتومی و عملگرها را می توان با توجه به تبدیل های واحد بر روی عملگرها و حالت ها قرار داد. برای هر حالت کوانتومی |Ψ〉 و عملگر O ، در تصویر شرودینگر |Ψ( t )〉 با زمان مطابق با معادله شرودینگر تغییر می‌کند در حالی که O ثابت است. در تصویر هایزنبرگ برعکس است، |Ψ〉 ثابت است در حالی که O ( t )مطابق با معادله حرکت هایزنبرگ با زمان تکامل می یابد. تصویر دیراک (یا برهمکنش) میانی است، وابستگی زمانی مکان‌هایی در عملگرها و حالت‌هایی است که بر اساس معادلات حرکت تکامل می‌یابند. این در درجه اول در محاسبه عناصر ماتریس S مفید است . [32]

مثال های غیر نسبیتی [ ویرایش ]

در زیر راه حل های معادله شرودینگر برای یک ذره بدون چرخش غیر نسبیتی آمده است.

مانع پتانسیل محدود [ ویرایش ]

پراکندگی در یک مانع پتانسیل محدود با ارتفاع V 0 . دامنه و جهت امواج متحرک چپ و راست نشان داده شده است. در قرمز، آن امواجی که برای استخراج دامنه بازتاب و انتقال استفاده می‌شوند. E > V 0 برای این تصویر.

یکی از برجسته ترین ویژگی های مکانیک موجی امکان رسیدن یک ذره به مکانی با پتانسیل نیروی بازدارنده (در مکانیک کلاسیک) است . یک مدل رایج " موانع پتانسیل " است، مورد یک بعدی دارای پتانسیل است

$V(x)={\begin{cases}V_{0}&|x|<a\\0&|x|\geq a\end{موارد}}$

و راه حل های حالت پایدار معادله موج دارای شکل هستند (برای برخی از ثابت ها k , κ )

$\Psi (x)={\begin{cases}A_{\mathrm {r} }e^{ikx}+A_{\mathrm {l}}e^{-ikx}&x<-a,\\ B_{\mathrm {r} }e^{\kappa x}+B_{\mathrm {l}}e^{-\kappa x}&|x|\leq a,\\C_{\mathrm {r} } e^{ikx}+C_{\mathrm {l} }e^{-ikx}&x>a.\end{موارد}}$

توجه داشته باشید که این توابع موج نرمال نیستند. برای بحث به نظریه پراکندگی مراجعه کنید .

تعبیر استاندارد این است که جریانی از ذرات در پله از سمت چپ شلیک می شود (جهت x منفی ): تنظیم A r = 1 مربوط به شلیک ذرات به تنهایی است. عبارات حاوی A r و C r به معنای حرکت به سمت راست هستند، در حالی که A l و Cl به سمت چپ هستند. تحت این تفسیر پرتو، Cl = 0 را قرار دهید زیرا هیچ ذره ای از سمت راست نمی آید . با اعمال پیوستگی توابع موج و مشتقات آنها در مرزها، از این رو می توان ثابت های بالا را تعیین کرد.

عملکرد موج الکترونی محدود سه بعدی در یک نقطه کوانتومی. در اینجا، نقاط کوانتومی مستطیلی و مثلثی شکل نشان داده شده است. حالات انرژی در نقاط مستطیلی بیشتر از نوع s و نوع p هستند . با این حال، در یک نقطه مثلثی، توابع موج به دلیل تقارن محصور شدن مخلوط می شوند. (برای دیدن انیمیشن کلیک کنید)

در یک بلور نیمه هادی که شعاع آن از اندازه اکسایتون شعاع بور کوچکتر است ، اکسیتون ها فشرده می شوند که منجر به محصور شدن کوانتومی می شود . سپس سطوح انرژی را می توان با استفاده از ذره در مدل جعبه ای که در آن انرژی حالت های مختلف به طول جعبه بستگی دارد، مدل سازی کرد.

نوسانگر هارمونیک کوانتومی [ ویرایش ]

توابع موج برای نوسان ساز هارمونیک کوانتومی را می توان بر حسب چندجمله ای های هرمیت H n بیان کرد ، آنها عبارتند از

$\Psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\ pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({ \sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)$

که در آن n = 0، 1، 2، ... .

چگالی احتمال الکترون برای چند اوربیتال الکترونی اتم هیدروژن اول به صورت مقطع نشان داده شده است. این اوربیتال ها یک پایه متعارف برای عملکرد موج الکترون تشکیل می دهند. مدارهای مختلف با مقیاس های مختلف به تصویر کشیده می شوند.

اتم هیدروژن [ ویرایش ]

توابع موجی یک الکترون در اتم هیدروژن بر حسب هارمونیک های کروی و چندجمله ای های تعمیم یافته لاگر بیان می شود (اینها توسط نویسندگان مختلف به طور متفاوتی تعریف شده اند - مقاله اصلی در مورد آنها و اتم هیدروژن را ببینید).

استفاده از مختصات کروی راحت است و تابع موج را می توان به توابع هر مختصات جدا کرد، [33]

$\Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )=R(r)\,\,Y_{\ell }^{m}\!(\theta ,\phi )$

که در آن R توابع شعاعی و Y هستندℓ( θ , φ ) هارمونیک های کروی درجه ℓ و مرتبه m هستند . این تنها اتمی است که معادله شرودینگر دقیقاً برای آن حل شده است. اتم های چند الکترونی به روش های تقریبی نیاز دارند. خانواده راه حل ها عبارتند از: [34]

$\Psi _{n\ell m}(r,\theta ,\phi )={\sqrt {{\left({\frac {2}{na_{0}}}\right)}^{3 }{\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]}}}}e^{-r/na_{0}}\left({\frac {2r}{ na_{0}}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{2\ell +1}\left({\frac {2r}{na_{0}}}\right) \cdot Y_{\ell }^{m}(\theta ,\phi )$

جایی که a 0 = 4 pe 0 × 2 / m e e 2 شعاع بور است , L2 ℓ + 1n − ℓ − 1چند جمله ای های تعمیم یافته لاگر با درجه n - ℓ - 1 هستند ، n = 1، 2، ... عدد کوانتومی اصلی است ، ℓ = 0، 1، ...، n - 1 عدد کوانتومی ازیموتال ، m = − ℓ , − ℓ + 1, ..., ℓ − 1, ℓ عدد کوانتومی مغناطیسی . اتم های هیدروژن مانند محلول های بسیار مشابهی دارند.

این راه حل اسپین الکترون را در نظر نمی گیرد.

در شکل اوربیتال های هیدروژن، 19 تصویر فرعی، تصاویری از توابع موج در فضای موقعیت هستند (هنجار آنها به مجذور). توابع موج حالت انتزاعی را نشان می دهند که با سه اعداد کوانتومی ( n ، ℓ ، m ) ، در سمت راست پایین هر تصویر مشخص می شود. اینها عدد کوانتومی اصلی، عدد کوانتومی تکانه زاویه ای مداری و عدد کوانتومی مغناطیسی هستند. همراه با یک عدد کوانتومی پرتاب اسپین از الکترون، این مجموعه کاملی از قابل مشاهده است.

شکل می تواند برای نشان دادن برخی از ویژگی های بیشتر فضاهای تابع توابع موج استفاده شود.

در این حالت، توابع موج مربعی قابل انتگرال هستند. در ابتدا می توان فضای تابع را به عنوان فضای توابع انتگرال پذیر مربعی در نظر گرفت که معمولاً L 2 نشان داده می شود .
توابع نمایش داده شده راه حل های معادله شرودینگر هستند. بدیهی است که هر تابع در L 2 معادله شرودینگر برای اتم هیدروژن را برآورده نمی کند. بنابراین فضای تابع یک زیرفضای L 2 است .
توابع نمایش داده شده بخشی از پایه فضای عملکرد را تشکیل می دهند. برای هر سه ( n , ℓ , m ) یک تابع موج پایه مطابقت دارد. اگر اسپین در نظر گرفته شود، دو تابع پایه برای هر سه گانه وجود دارد. بنابراین فضای تابع یک مبنای قابل شمارش دارد .
توابع پایه متقابلاً متعارف هستند .

توابع موج و فضاهای تابع [ ویرایش ]

مفهوم فضاهای تابع به طور طبیعی در بحث توابع موج وارد می شود. فضای تابع مجموعه ای از توابع است، معمولاً با برخی الزامات تعیین کننده در مورد توابع (در مورد فعلی که مربع قابل انتگرال هستند )، گاهی اوقات با یک ساختار جبری روی مجموعه (در مورد فعلی یک ساختار فضای برداری با یک محصول داخلی) . )، همراه با یک توپولوژی در مجموعه. مورد دوم در اینجا به ندرت مورد استفاده قرار می گیرد، فقط برای به دست آوردن تعریف دقیقی از معنای بسته شدن یک زیر مجموعه از یک فضای تابع لازم است . در زیر نتیجه گیری می شود که فضای تابع توابع موج یک فضای هیلبرت است. این مشاهدات پایه و اساس فرمول ریاضی غالب مکانیک کوانتومی است.

ساختار فضای برداری [ ویرایش ]

تابع موج عنصری از فضای تابع است که تا حدی با توضیحات عینی و انتزاعی زیر مشخص می شود.

معادله شرودینگر خطی است. این بدان معنی است که راه حل های مربوط به آن، توابع موج، می توانند با اسکالرها اضافه و ضرب شوند تا یک راه حل جدید تشکیل شود. مجموعه راه حل های معادله شرودینگر یک فضای برداری است.
اصل برهم نهی مکانیک کوانتومی. اگر Ψ و Φ دو حالت در فضای انتزاعی حالات یک سیستم مکانیکی کوانتومی باشند و a و b هر دو عدد مختلط باشند، یک Ψ + b Φ نیز یک حالت معتبر است. (اینکه آیا بردار تهی به عنوان یک حالت معتبر حساب می شود ("بدون سیستم موجود") یک موضوع تعریف است. بردار تهی به هیچ وجه حالت خلاء را در نظریه میدان کوانتومی توصیف نمی کند .) مجموعه حالت های مجاز یک فضای برداری است. .

این شباهت البته تصادفی نیست. همچنین تفاوت هایی بین فضاها وجود دارد که باید در نظر داشت.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی