ریاضیات

نماد Bra-ket یا Dirac از دو نماد مجزا به نام های bra و ket تشکیل شده است. براکت های زاویه و نوار عمودی تک برای ساخت این نماد ترمز استفاده شده است.

فهرست مطالب

• نماد سوتین و کت در لاتک

• از دستور پیش فرض در LaTeX استفاده کنید

• بسته ترمز برای نماد bra-ket در LaTeX

• از بسته فیزیک برای نشان‌گذاری bra-ket استفاده کنید

نماد سوتین و کت در لاتک

نماد سوتین 〈a|با یک براکت زاویه سمت چپ و نوار عمودی، نماد کت |b〉با یک نوار عمودی و یک براکت زاویه راست محدود می شود.

و دستورات متعددی برای نمایش نوارهای عمودی مانند، و و غیره استفاده می شود. vertبه rvertعنوان midمثال

\documentclass{article}
\begin{document}
  \[ \langle a_j | \;,\; | a_k \rangle \]
  \[ \langle m \vert \;,\; \vert n \rangle \]
  \[ \left\langle \frac{m_i}{k} \right\vert \;,\; \left\vert \frac{n_j}{k} \right\rangle \]
  \[ \left\langle \frac{p_i}{n_j} \right\vert \;,\; \left\vert \frac{q_k}{n_j} \right\rangle \]
\end{document}

کپی 🀄

خروجی:

از دستور پیش فرض در LaTeX استفاده کنید

هیچ فرمان پیش فرض فردی برای علامت گذاری bra-ket وجود ندارد. بنابراین، برای هر دو براکت زاویه و یک نوار، باید دستورات جداگانه بنویسید.

\documentclass{article}
\begin{document}
  \[ \langle a | b \rangle \]
  \[ \langle p \vert q \rangle \]
  \[ \langle a \mid b \rangle \]
  \[ \langle \frac{m}{2} \vert \frac{n}{2} \rangle \]
\end{document}

کپی 🀄

خروجی:

هنگامی که از کسری به عنوان متغیر یا آرگومان در علامت گذاری براکت استفاده می کنید، بسیار مهم است که اندازه متغیر را با اندازه نماد braket مطابقت دهید.

\documentclass{article}
\newcommand{\braket}[2]{\left \langle #1 \middle| #2 \right \rangle}
\newcommand{\braketmatrix}[3]{\left \langle #1 \middle| #2 \middle| #3 \right \rangle}
\begin{document}
  \[ \braket{e_k}{e_i} \]
  \[ \braketmatrix{\phi}{A}{\psi} \]
  \[ \braketmatrix{x}{\hat{p}}{\psi} \]
  \[ \braketmatrix{u}{\Omega^\dagger}{v} \]
  \[ \braket{\frac{m}{k}}{\frac{n}{k}} \]
\end{document}

کپی 🀄

خروجی:

شما می توانید همان ماکرو را از طریق mathtoolsبسته تعریف کنید. و مزیت اصلی استفاده از این پکیج عدم نیاز به استفاده \leftو rightدستورات قبل از براکت زاویه می باشد.

اندازه نماد به طور خودکار قابل تنظیم خواهد بود.

\documentclass{article}
\usepackage{mathtools}
\DeclarePairedDelimiterX\braket[2]{\langle}{\rangle}{#1 \delimsize\vert #2}
\begin{document}
  \[ \braket{\phi_k}{\psi_i} \]
  \[ \braket{x}{O} \]
  \[ \braket*{\hat{X}}{\hat{Y}} \]
  \[ \braket*{\frac{e_i}{n}}{\frac{e_k}{n}} \]
\end{document}

کپی 🀄

خروجی:

بسته ترمز برای نماد bra-ket در LaTeX

لاتکس دارای بسته های ترمز است که حاوی دو دستور جداگانه، \braketو \Braketبرای نشان دادن این نماد است.

اگرچه این دو دستور از نظر املای یکسان هستند، اما از نظر کارکردی کاملاً متفاوت هستند زیرا LaTeX به حروف بزرگ و کوچک حساس است.

در این دستور آرگومان ها توسط یک نوار جدا شده و پاس داده می شوند. مثلا

\documentclass{article}
\usepackage{braket}
\begin{document}
  \[ \braket{\phi | \psi} \]
  \[ \braket{\Psi | \hat{A} | \Psi} \]
  \[ \braket{n | \frac{A}{k} | m} \]
\end{document}

کپی 🀄

خروجی:

اگر به خروجی بالا نگاه کنید، می بینید که اندازه نماد در حالت \braketدستور ثابت است.

اما در مورد \Braketدستورات، اندازه نماد با توجه به اندازه آرگومان افزایش می یابد.

\documentclass{article}
\usepackage{braket}
\begin{document}
  \[ \Braket{\phi | \psi} \]
  \[ \Braket{\Psi | \hat{A} | \Psi} \]
  \[ \Braket{n | \frac{A}{k} | m} \]
\end{document}

کپی 🀄

خروجی:

از بسته فیزیک برای نشان‌گذاری bra-ket استفاده کنید

دستورات مختلفی در بسته فیزیک برای هر مورد علامت گذاری براکت تعریف شده است.

و با قرار دادن دستور اصلی bra و کت این بسته در کنار هم می توانید نماد کامل را نشان دهید. مثلا

\documentclass{article}
\usepackage{physics}
\begin{document}
  \[ \bra{a'}\ket{b'} \]
  \[ \bra{\alpha}\ket{\omega} \]
  \[ \bra*{\frac{\phi_i}{n}}\ket*{\frac{\phi_k}{n}} \]
  \[ \bra{\frac{\phi_i}{n}}\ket{\frac{\phi_k}{n}} \]
  \[ \bra{\phi_1+\phi_2}\ket{\psi_1+\psi_2} \]
\end{document}

کپی 🀄

خروجی:

دوم، بهترین تمرین برای این نماد استفاده از دستور \braket است که در بسته فیزیک نیز وجود دارد.

و می توانید دو آرگومان را با هم برای دو متغیر ارسال کنید.

\documentclass{article}
\usepackage{physics}
\begin{document}
% use single argument : \braket{arg}
  \[ \braket{\phi_i} \]
  \[ \braket{k} \]
% use multiple arguments : \braket{arg1}{arg2}
  \[ \braket{x_i}{x_k} \]
  \[ \braket{\hat{A}}{O} \]
% use short command like : \ip{arg1}{arg2}
  \[ \ip{\textbf{r}}{\psi} \]
  \[ \ip{\tau}{\phi} \]
\end{document}

کپی 🀄

خروجی:

اگر این دو آرگومان یکسان باشند، باید آرگومان مورد استفاده در برنامه فوق را پاس کرد.

و در صورت استفاده از علامت ستاره با دستور، اندازه نماد ثابت می شود.

\documentclass{article}
\usepackage{physics}
\begin{document}
  \[ \braket*{m_i}{n_j} \]
  \[ \braket*{\frac{m_i}{k}}{\frac{n_j}{k}} \]
\end{document}

کپی 🀄

خروجی:

در زیر چند کاربرد دیگر از بسته فیزیک برای این نماد آورده شده است.

\documentclass{article}
\usepackage{physics}
\begin{document}
% For outerproduct : \dyad{arg1}{arg2}, \ketbra{arg1}{arg2}, and \op{arg1}{arg2}
  \[ \dyad{a}{b} \]
  \[ \op{a}{b} \]
  \[ \ketbra{a}{b} \]
% For expectation value : \expval{arg1}{arg2}, \ev{arg1}{arg2}
  \[ \expval{A}{\Psi} \]
  \[ \ev{A}{\Psi} \]
% For matrix element : \matrixel{arg1}{arg2}{arg3}, \mel{arg1}{arg2}{arg3}
  \[ \matrixel{n}{A}{m} \]
  \[ \mel{n}{A}{m} \]
\end{document}

کپی 🀄

خروجی:

دکتر جیدان موندال

منبع

https://www.physicsread.com/latex-braket-notation/