پله پتانسیل

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و پنجم خرداد ۱۴۰۲ | 1:55

ما می خواهیم فیزیک یک پله پتانسیل را برای این مورد مطالعه کنیم $\bgroup\color{black}$E>V_0$\egroup$ .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} V(x)=\left\{ \matrix{0 & x<0 \cr +V_0 & x>0 }\راست. \egroup\end{displaymath}$

برای این مشکل، هر دو منطقه دارند $\bgroup\color{black}$E>V$\egroup$ ، بنابراین ما از راه حل های نمایی پیچیده در هر دو منطقه استفاده خواهیم کرد. این در اصل یک مشکل پراکندگی 1 بعدی است. فرض کنید پرتوی از ذرات با تکانه مشخص از سمت چپ وارد می شود و فرض کنید هیچ شار ذرات از سمت راست وجود ندارد.

برای $\bgroup\color{black}$x<0$\egroup$ ، راه حل این است

$\begin{eqnarray*} u(x)=e^{ikx}+Re^{-ikx} \\ k=\sqrt{2mE\over\hbar^2} .\\ \end{eqnarray*}$

$\bgroup\color{black}$x>0$\egroup$ توجه داشته باشید که ضریب پرتو فرودی را 1 فرض کرده ایم. (ضرب در مقداری فیزیک را تغییر نمی دهد).

$\begin{eqnarray*} u'(x)=Te^{ik'x} \\ k'=\sqrt{2m(E-V_0)\over\hbar^2} \\ \end{eqnarray*}$

(توجه داشته باشید که پرتویی که از سمت راست می آید، اصطلاحی $\bgroup\color{black}$e^{-ik'x}$\egroup$ برای $\bgroup\color{black}$x>0$\egroup$ .)

$\epsfig{file=figs/potstep.eps,width=5in}$

دو ضریب مجهول وجود دارد $\bgroup\color{black}$R$\egroup$ که $\bgroup\color{black}$T$\egroup$ با تطبیق شرایط مرزی مشخص می شود. ما نیازی به نرمال سازی برای یک ذره نخواهیم داشت، زیرا پرتویی با تکانه مشخص داریم که نمی توان آنقدر نرمال کرد. (یک مشکل فیزیکی بیشتر برای حل، از یک بسته موج ورودی با گسترش حرکت استفاده می کند.)

تداوم تابع موج در $\bgroup\color{black}$x=0$\egroup$ دلالت دارد

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} 1+R=T .\egroup\end{displaymath}$

نمایی ها همه برابر با 1 هستند، بنابراین معادله ساده است.

پیوستگی مشتق تابع موج در $\bgroup\color{black}$x=0$\egroup$ میدهد

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} [ike^{ikx}-ikRe^{-ikx}]_{x=0}=[ik'Te^{ik'x}]_{x=0} \egroup\end{displaymath}$

$\bgroup\color{black}$T$\egroup$ از معادله بالا ارزیابی و وصل کنید . ما می توانیم مشکل را حل کنیم.

$\begin{eqnarray*} k(1-R)=k'(1+R) \\ (k+k')R=(kk') \\ \end{eqnarray*}$

ضرایب هستند

$\begin{eqnarray*} R={kk'\over k+k'} \\ T=1+R={2k\over k+k'} .\\ \end{eqnarray*}$

ما اکنون راه حل کامل را داریم ، با توجه به فرض ما از برخورد ذرات از سمت چپ.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} u(x)=\left\{ \matrix{e^{ikx}+{kk'\over ... ...^{-ikx} & x<0 \cr {2k\over k+k'}e^{ik'x} & x>0 }\right. \egroup\end{displaymath}$

به طور کلاسیک ، همه ذرات منتقل می شوند و تا بی نهایت ادامه می یابند.

در مکانیک کوانتومی، مقداری احتمال منعکس شده است .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} P_{\mathrm{reflection}}=\vert R\vert^2=\left({kk'\over k+k'}\right)^2 \egroup\ پایان{نمایش}$

(توجه داشته باشید که ما می توانیم به سادگی از ضریب استفاده کنیم $\bgroup\color{black}$e^{-ikx}$\egroup$ زیرا عبارت ورودی دارای ضریب 1 است و به این دلیل که ذرات بازتابی با همان سرعت پرتو ورودی حرکت می کنند.)

اگر بخواهیم احتمال انتقال را محاسبه کنیم ، راه آسان برای انجام آن این است که بگوییم این است

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} P_{\mathrm{transmission}}=1-P_{\mathrm{reflection}}={4kk'\over(k+k')^2} .\egroup\ پایان{نمایش}$

ما پاسخ های مشابهی را برای ضرایب بازتاب و انتقال با استفاده از شار احتمال برای حل مسئله دریافت خواهیم کرد.

احتمال انتقال به 1 یک می رود $\bgroup\color{black}$k=k'$\egroup$ (چون پله ای وجود ندارد). احتمال انتقال برای $\bgroup\color{black}$k'=0$\egroup$ (چون انرژی جنبشی صفر است) به 0 می رسد.

منبع

https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node149.html

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

پله پتانسیل

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین