2-گروه بزرگ متعارف

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و سوم خرداد ۱۴۰۲ | 22:28

خواص [ ویرایش ]

منحصر به فرد بودن : مجموعه بزرگ متعارف به طور منحصر به فردی برای یک سیستم معین در دمای معین و پتانسیل های شیمیایی معین تعیین می شود و به انتخاب های دلخواه مانند انتخاب سیستم مختصات (مکانیک کلاسیک) یا پایه (مکانیک کوانتومی) بستگی ندارد. [1] گروه بزرگ متعارف تنها گروه با ثابت است $\mu$ ، V و T که رابطه ترمودینامیکی اساسی را بازتولید می کند . [5]
تعادل آماری (حالت پایدار): یک گروه بزرگ متعارف در طول زمان تکامل نمی‌یابد، علی‌رغم این واقعیت که سیستم زیربنایی در حرکت دائمی است. در واقع، مجموعه تنها تابعی از مقادیر حفظ شده سیستم (انرژی و اعداد ذرات) است. [1]
تعادل حرارتی و شیمیایی با سیستم‌های دیگر : دو سیستم، که هر کدام توسط یک مجموعه بزرگ متعارف با دما و پتانسیل‌های شیمیایی برابر توصیف می‌شوند، که در تماس حرارتی و شیمیایی قرار می‌گیرند [یادداشت 2] بدون تغییر باقی می‌مانند و سیستم ترکیبی حاصل با یک ترکیب ترکیبی توصیف می‌شود. مجموعه بزرگ متعارف با همان دما و پتانسیل شیمیایی. [1]
ماکزیمم آنتروپی : برای پارامترهای مکانیکی داده شده ( V ثابت )، میانگین کل متعارف گروه لاگ احتمال-〈ورود به سیستم⁡پ〉 $-\langle \log P\rangle$ (که "آنتروپی" نیز نامیده می شود) حداکثر ممکن برای هر مجموعه ای است (یعنی توزیع احتمال P ) با همان $\langle E\rangle$ ، $\langle N_{1}\rangle$ و غیره [1]
حداقل پتانسیل بزرگ : برای پارامترهای مکانیکی داده شده ( V ثابت ) و مقادیر داده شده T , μ 1 , …, μ s ، میانگین مجموعه $\left\langle E+kT\log P-\mu _{1}N_{1}-\ldots \mu _{s}N_{s}\right\rangle$ پایین ترین ممکن در بین هر گروهی است. [1]

پتانسیل بزرگ، میانگین های گروه، و دیفرانسیل های دقیق [ ویرایش ]

مشتقات جزئی تابع Ω( μ 1 , …, μ s , V , T ) مقادیر میانگین مجموعه بزرگ متعارف را نشان می دهد: [1] [6]

میانگین تعداد ذرات
$\langle N_{1}\rangle =-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu _{1}}},\quad \ldots \quad \langle N_{s}\rangle =-{\frac {\partial \Omega }{\partial \mu _{s}}}،$
فشار متوسط
$\langle p\rangle =-{\frac {\partial \Omega }{\partial V}}،$
آنتروپی گیبس
اس=-ک〈ورود به سیستم⁡پ〉=-∂Ω∂تی، $S=-k\langle \log P\rangle =-{\frac {\partial \Omega }{\partial T}}،$
و میانگین انرژی
$\langle E\rangle =\Omega +\langle N_{1}\rangle \mu _{1}\ldots +\langle N_{s}\rangle \mu _{s}+ST.$

دیفرانسیل دقیق : از عبارات بالا می توان دریافت که تابع Ω دارای دیفرانسیل دقیق است

$d\Omega =-SdT-\langle N_{1}\rangle d\mu _{1}\ldots -\langle N_{s}\rangle d\mu _{s}-\langle p\rangle dV.$

قانون اول ترمودینامیک : با جایگزینی رابطه فوق به جای 〈 E 〉 به دیفرانسیل دقیق Ω ، معادله ای مشابه قانون اول ترمودینامیک به دست می آید، به جز با علائم میانگین در برخی از کمیت ها: [1]

$d\langle E\rangle =TdS+\mu _{1}d\langle N_{1}\rangle \ldots +\mu _{s}d\langle N_{s}\rangle -\langle p\rangle dV.$

نوسانات ترمودینامیکی : واریانس در انرژی و اعداد ذرات [7] [8] است.

$\langle E^{2}\rangle -\langle E\rangle ^{2}=kT^{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial T}}+kT\mu _{1 }{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial \mu _{1}}}+kT\mu _{2}{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial \mu _ {2}}}+\ldots ,$

$\langle N_{1}^{2}\rangle -\langle N_{1}\rangle ^{2}=kT{\frac {\partial \langle N_{1}\rangle }{\partial \mu _{1 }}}.$

همبستگی در نوسانات : کوواریانس اعداد و انرژی ذرات [1] است.

$\langle N_{1}N_{2}\rangle -\langle N_{1}\rangle \langle N_{2}\rangle =kT{\frac {\partial \langle N_{2}\rangle }{\partial \ mu _{1}}}=kT{\frac {\partial \langle N_{1}\rangle }{\partial \mu _{2}}}.$

$\langle N_{1}E\rangle -\langle N_{1}\rangle \langle E\rangle =kT{\frac {\partial \langle E\rangle }{\partial \mu _{1}}}،$

نمونه‌های گروه [ ویرایش ]

سودمندی گروه بزرگ کانونیکال در مثال های زیر نشان داده شده است. در هر مورد پتانسیل بزرگ بر اساس رابطه محاسبه می شود

$\Omega =-kT\ln \left(\sum _{\text{microstates}}e^{\frac {\mu NE}{kT}}\right)$

که برای جمع شدن احتمالات ریز حالت ها تا 1 لازم است.

آمار ذرات غیر متقابل [ ویرایش ]

بوزون ها و فرمیون ها (کوانتومی) [ ویرایش ]

در مورد خاص یک سیستم کوانتومی از بسیاری از ذرات غیر متقابل ، محاسبه ترمودینامیک ساده است. [9] از آنجایی که ذرات برهم کنش ندارند، می‌توان مجموعه‌ای از حالت‌های ثابت تک ذره‌ای را محاسبه کرد، که هر کدام نشان‌دهنده یک بخش جداشدنی است که می‌تواند در حالت کل کوانتومی سیستم گنجانده شود. در حال حاضر اجازه دهید به این حالت های ثابت تک ذره ای به عنوان اوربیتال اشاره کنیم (برای جلوگیری از اشتباه گرفتن این "حالت ها" با حالت کل چند جسمی)، با این شرط که هر ویژگی ذره داخلی ممکن ( اسپین یا قطبش ) به عنوان یک اوربیتال جداگانه به حساب می آید. . هر مدار ممکن است توسط یک ذره (یا ذرات) اشغال شده باشد یا ممکن است خالی باشد.

از آنجایی که ذرات برهم کنش ندارند، ممکن است این دیدگاه را داشته باشیم که هر مدار یک سیستم ترمودینامیکی مجزا را تشکیل می دهد . بنابراین، هر مداری برای خودش یک مجموعه بزرگ متعارف است، مجموعه‌ای به قدری ساده که می‌توان آمار آن را بلافاصله در اینجا به دست آورد. با تمرکز روی تنها یک مدار با برچسب i ، انرژی کل برای یک ریز حالت از ذرات N در این مدار Nϵ i خواهد بود ، که ε i سطح انرژی مشخصه آن مدار است. بسته به اینکه اوربیتال بوزونی یا فرمیونی باشد، پتانسیل بزرگ برای اوربیتال به یکی از دو شکل داده می شود:

برای فرمیون‌ها ، اصل طرد پائولی فقط دو حالت ریز را برای مدار (اشغال 0 یا 1) مجاز می‌سازد که یک سری دو ترم ارائه می‌کند.
${\begin{aligned}\Omega _{i}&=-kT\ln {\Big (}\sum _{N=0}^{1}e^{\frac {N\mu -N\epsilon _{ i}}{kT}}{\Big )}\\&=-kT\ln {\Big (}1+e^{\frac {\mu -\epsilon _{i}}{kT}}{\Big )}\end{تراز شده}}$
برای بوزون ها ، N ممکن است هر عدد صحیح غیرمنفی باشد و هر مقدار از N به دلیل عدم تشخیص ذرات ، به عنوان یک ریز حالت به حساب می آید که منجر به یک سری هندسی می شود :
${\begin{aligned}\Omega _{i}&=-kT\ln {\Big (}\sum _{N=0}^{\infty }e^{\frac {N\mu -N\epsilon _ {i}}{kT}}{\Big )}\\&=+kT\ln {\Big (}1-e^{\frac {\mu -\epsilon _{i}}{kT}}{\ بزرگ )}.\end{تراز شده}}$

در هر مورد مقدار $\scriptstyle \langle N_{i}\rangle =-{\tfrac {\partial \Omega _{i}}{\partial \mu }}$ میانگین ترمودینامیکی تعداد ذرات روی مدار را نشان می‌دهد: توزیع فرمی دیراک برای فرمیون‌ها و توزیع بوز-اینشتین برای بوزون‌ها. با در نظر گرفتن مجدد کل سیستم، کل پتانسیل بزرگ با جمع کردن Ω i برای همه اوربیتال ها به دست می آید.

ذرات کلاسیک غیر قابل تشخیص [ ویرایش ]

در مکانیک کلاسیک می توان ذرات غیرقابل تشخیص را نیز در نظر گرفت (در واقع، غیرقابل تشخیص بودن یک پیش نیاز برای تعریف یک پتانسیل شیمیایی به روشی ثابت است؛ همه ذرات از یک نوع معین باید قابل تعویض باشند [1 ]). ما دوباره قرار دادن چند ذره از یک نوع را در یک ریز حالت فضای فاز تک ذره ای در نظر می گیریم، که دوباره آن را "اوربیتال" می نامیم. با این حال، در مقایسه با مکانیک کوانتومی، مورد کلاسیک با این واقعیت پیچیده است که یک ریز حالت در مکانیک کلاسیک به یک نقطه در فضای فاز اشاره نمی کند، بلکه به یک منطقه گسترده در فضای فاز اشاره می کند: یک ریز حالت شامل تعداد بی نهایت حالت است. همه متمایز اما دارای شخصیت مشابه در نتیجه، وقتی چند ذره در یک مدار قرار می گیرند، مجموعه کلی ذرات (در فضای فاز سیستم) به عنوان یک ریز حالت کامل به حساب نمی آید، بلکه فقط یک کسری است .از یک ریز حالت، زیرا حالت های یکسان (که از جایگشت ذرات یکسان تشکیل می شوند) نباید بیش از حد شمارش شوند. ضریب تصحیح بیش شماری فاکتوریل تعداد ذرات است.

آمار در این مورد به شکل یک سری توان نمایی است

${\begin{aligned}\Omega _{\rm {orb}}&=-kT\ln {\Big (}\sum _{N=0}^{\infty }{\frac {1}{N!} }e^{\frac {N\mu -N\epsilon _{\rm {orb}}}{kT}}{\Big )}\\&=-kT\ln {\Big (}e^{e^ {\frac {\mu -\epsilon _{\rm {orb}}}{kT}}}{\Big )}\\&=-kTe^{\frac {\mu -\epsilon _{\rm {orb }}}{kT}}،\end{تراز شده}}$

$\scriptstyle \langle N_{\rm {orb}}\rangle =-{\tfrac {\partial \Omega _{\rm {orb}}}{\partial \mu }}$ مطابق با آمار ماکسول-بولتزمن .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی