از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مکانیک آماری
ترمودینامیک نظریه جنبشی
نشان می دهد آمار ذرات
پنهان شدن مجموعه های ترمودینامیکی NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Grand canonical NPH ایزوآنتالپیک-ایزوباریک NPT ایزوترمال-ایزوباریک
نشان می دهد مدل ها
نشان می دهد پتانسیل ها
نشان می دهد دانشمندان
v تی ه

در مکانیک آماری ، مجموعه بزرگ متعارف (همچنین به عنوان مجموعه ماکروکانونیکال نیز شناخته می‌شود ) مجموعه آماری است که برای نمایش حالت‌های احتمالی یک سیستم مکانیکی از ذرات که در تعادل ترمودینامیکی (حرارتی و شیمیایی) با یک مخزن هستند، استفاده می‌شود. [1] گفته می‌شود که سیستم باز است به این معنا که سیستم می‌تواند انرژی و ذرات را با یک مخزن مبادله کند، به طوری که حالت‌های ممکن مختلف سیستم می‌تواند هم از نظر انرژی کل و هم در تعداد کل ذرات متفاوت باشد. حجم، شکل و سایر مختصات خارجی سیستم در تمام حالت های ممکن سیستم یکسان نگه داشته می شوند.

متغیرهای ترمودینامیکی مجموعه بزرگ متعارف عبارتند از پتانسیل شیمیایی (نماد: µ ) و دمای مطلق (نماد: T ) . این مجموعه همچنین به متغیرهای مکانیکی مانند حجم (نماد: V ) وابسته است که بر ماهیت حالت های داخلی سیستم تأثیر می گذارد. بنابراین گاهی اوقات این مجموعه را مجموعه μVT می نامند ، زیرا هر یک از این سه کمیت ثابت های مجموعه هستند.

مبانی [ ویرایش ]

به عبارت ساده، مجموعه بزرگ متعارف یک احتمال P را به هر ریز حالت متمایز داده شده توسط نمایی زیر اختصاص می دهد:

که در آن N تعداد ذرات در ریز حالت و E انرژی کل ریز حالت است. k ثابت بولتزمن است .

عدد Ω به عنوان پتانسیل بزرگ شناخته می شود و برای مجموعه ثابت است. با این حال، اگر μ , V , T متفاوت انتخاب شوند، احتمالات و Ω متفاوت خواهند بود. پتانسیل بزرگ Ω دو نقش را ایفا می کند: ارائه ضریب نرمال سازی برای توزیع احتمال (احتمالات، روی مجموعه کامل ریز حالت ها، باید تا یک جمع شوند). و بسیاری از میانگین‌های مهم مجموعه را می‌توان مستقیماً از تابع Ω( μ , V , T ) محاسبه کرد .

در موردی که اجازه داده شود بیش از یک نوع ذره از نظر تعداد متفاوت باشد، عبارت احتمال به

که در آن µ1 پتانسیل شیمیایی برای نوع اول ذرات، N 1 تعداد آن نوع ذره در ریز حالت، µ2 پتانسیل شیمیایی برای نوع دوم ذرات و غیره است ( s تعداد متمایز است. انواع ذرات). با این حال، این اعداد ذرات باید با دقت تعریف شوند (به یادداشت مربوط به حفظ تعداد ذرات در زیر مراجعه کنید).

توزیع گروه بزرگ متعارف توسط برخی از نویسندگان توزیع بولتزمن تعمیم یافته نامیده می شود. [2]

مجموعه‌های بزرگ برای توصیف سیستم‌هایی مانند الکترون‌های یک رسانا یا فوتون‌های موجود در یک حفره مناسب هستند، جایی که شکل ثابت است اما انرژی و تعداد ذرات می‌تواند به راحتی به دلیل تماس با یک مخزن (مثلاً یک منبع الکتریکی) در نوسان باشد. زمین یا سطح تیره ، در این موارد). مجموعه بزرگ متعارف یک محیط طبیعی برای اشتقاق دقیق آمار فرمی دیراک یا آمار بوز-اینشتین برای سیستمی از ذرات کوانتومی غیر متقابل فراهم می کند (نمونه های زیر را ببینید).

توجه به فرمولاسیون

یک فرمول جایگزین برای همان مفهوم، احتمال را به عنوان می نویسد، با استفاده از تابع grand partition به جای پتانسیل بزرگ معادلات موجود در این مقاله (از نظر پتانسیل بزرگ) ممکن است بر حسب تابع تقسیم بزرگ با دستکاری های ساده ریاضی دوباره بیان شوند.

قابلیت کاربرد [ ویرایش ]

مجموعه بزرگ متعارف مجموعه‌ای است که حالت‌های احتمالی یک سیستم جدا شده را توصیف می‌کند که در تعادل حرارتی و شیمیایی با یک مخزن قرار دارد (اشتقاق در امتداد خطوطی مشابه با مشتقات حمام گرمایی مجموعه متعارف معمولی پیش می‌رود و می‌توان آن را در ریف یافت . [3] ). مجموعه بزرگ متعارف برای سیستم‌هایی با هر اندازه، کوچک یا بزرگ اعمال می‌شود. فقط لازم است فرض کنیم که مخزنی که با آن در تماس است بسیار بزرگتر است (یعنی برای گرفتن حد ماکروسکوپی ).

شرط ایزوله بودن سیستم به منظور اطمینان از داشتن کمیت های ترمودینامیکی و تکامل کاملاً تعریف شده ضروری است. [1] با این حال، در عمل، استفاده از مجموعه بزرگ متعارف برای توصیف سیستم‌هایی که در تماس مستقیم با مخزن هستند، مطلوب است، زیرا این تماس است که تعادل را تضمین می‌کند. استفاده از مجموعه بزرگ متعارف در این موارد معمولاً 1) با فرض ضعیف بودن تماس یا 2) با ادغام بخشی از اتصال مخزن به سیستم تحت تجزیه و تحلیل توجیه می شود، به طوری که تأثیر اتصال بر منطقه علاقه به درستی مدل شده است. روش دیگر، رویکردهای نظری را می‌توان برای مدل‌سازی تأثیر اتصال مورد استفاده قرار داد و یک مجموعه آماری باز را به‌دست آورد.

مورد دیگری که در آن مجموعه بزرگ متعارف ظاهر می شود، زمانی است که سیستمی بزرگ و ترمودینامیکی را در نظر می گیریم (سیستمی که "در تعادل با خودش" است). حتی اگر شرایط دقیق سیستم واقعاً اجازه تغییرات در انرژی یا تعداد ذرات را نمی‌دهد، می‌توان از مجموعه بزرگ متعارف برای ساده کردن محاسبات برخی از خواص ترمودینامیکی استفاده کرد. دلیل این امر این است که مجموعه‌های مختلف ترمودینامیکی ( میکروکانونیکال ، متعارف ) از برخی جنبه‌ها با مجموعه بزرگ کانونیک، زمانی که سیستم بسیار بزرگ است، معادل می‌شوند. [یادداشت 1]البته، برای سیستم‌های کوچک، مجموعه‌های مختلف حتی در میانگین دیگر معادل نیستند. در نتیجه، مجموعه بزرگ متعارف زمانی که برای سیستم‌های کوچک با تعداد ذرات ثابت مانند هسته‌های اتمی اعمال می‌شود، می‌تواند بسیار نادرست باشد. [4]