معادلات مقدار ویژه

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و دوم خرداد ۱۴۰۲ | 3:26

معادلات مقدار ویژه

معادله شرودینگر مستقل از زمان نمونه ای از معادله مقدار ویژه است.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H\; u(x)=E\; u(x) \egroup\end{displaymath}$

همیلتونی بر روی تابع ویژه عمل می کند و به یک ثابت مقدار ویژه ، برابر تابع یکسان می دهد. (Eigen در آلمانی به همین معنی است.) $\bgroup\color{black}$u(x)$\egroup$ $\bgroup\color{black}$E$\egroup$

معمولاً برای حالت‌های محدود، راه‌حل‌های تابع ویژه زیادی وجود دارد (در اینجا با شاخص مشخص می‌شود $\bgroup\color{black}$i$\egroup$ ).

$\bgroup\color{black}$\displaystyle H\; \psi_i=E_i\psi_i $\egroup$

برای حالت‌هایی که یک ذره را نشان می‌دهند (به‌ویژه حالت‌های محدود)، باید بخواهیم که راه‌حل‌ها قابل نرمال‌سازی باشند . راه حل هایی که قابل عادی سازی نیستند باید کنار گذاشته شوند. یک تابع موج عادی باید در بی نهایت به صفر برود.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}\psi(\infty)\rightarrow 0 \egroup\end{displaymath}$

در واقع، تمام مشتقات $\bgroup\color{black}$\psi$\egroup$ باید در بی نهایت به صفر بروند تا تابع موج روی صفر بماند.

بعداً ثابت خواهیم کرد که توابع ویژه نسبت به یکدیگر متعامد هستند.

$\bgroup\color{black}$\displaystyle \langle\psi_i\vert\psi_j\rangle=\delta_{ij} $\egroup$

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi^*(x)\psi(x) dx=1 \egroup\end{displaymath}$

فرض می کنیم که توابع ویژه یک مجموعه کامل را تشکیل می دهند تا هر تابعی را بتوان به صورت ترکیب خطی از آنها نوشت.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}\psi=\alpha_1\psi_1+\alpha_2\psi_2+\alpha_3\psi_3+... \egroup\end{displaymath}$

$\bgroup\color{black}$\displaystyle \psi=\sum\limits_{i=1}^\infty \alpha_i\psi_i$\egroup$

(این را می توان برای بسیاری از توابع ویژه که ما استفاده خواهیم کرد ثابت شود.)

از آنجایی که توابع ویژه متعامد هستند، می‌توانیم به راحتی ضرایب را در بسط یک تابع موج دلخواه محاسبه کنیم $\bgroup\color{black}$\psi$\egroup$ .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}\alpha_i=\langle\psi_i\vert\psi\rangle=\l... ...angle\alpha_j=\sum\limits_j\delta_{ij}\alpha_j= \alpha_i \egroup\end{displaymath}$

ما بعداً به توابع ویژه به عنوان بردارهای واحد در یک فضای برداری فکر خواهیم کرد. سپس تابع موج دلخواه $\bgroup\color{black}$\psi$\egroup$ یک بردار در آن فضا است.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black}\psi=\pmatrix{\alpha_1\cr \alpha_2\cr \alpha_3\cr ...\cr} \egroup\end{displaymath}$

محاسبه مقدار انتظار همیلتونی با استفاده از بسط $\bgroup\color{black}$\psi$\egroup$ و متعارف بودن توابع ویژه آموزنده است.

$\begin{eqnarray*} \langle\psi\vert H\vert\psi\rangle &=& \sum\limits_{ij}\langle... ...alpha_i^*\alpha_i E_i=\sum\limits_{i }\vert\alpha_i\vert^2E_i \\ \end{eqnarray*}$

می‌توانیم ببینیم که ضرایب حالت‌های ویژه دامنه‌های احتمالی را نشان می‌دهند که در آن حالت‌ها قرار دارند ، زیرا مجذورات مطلق ضرایب به وضوح احتمال را می‌دهند. $\bgroup\color{black}$\alpha_i^*\alpha_i$\egroup$

منبع

https://quantummechanics.ucsd.edu/ph130a/130_notes/node132.html

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی