از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

تعریف هندسی زوایای کلاسیک اویلر.

سیستم مختصات ثابت ( x، y، z )

سیستم مختصات چرخشی ( X، Y، Z )

خط گره ها ( N )

زوایای اویلر سه زاویه هستند که توسط لئونارد اویلر برای توصیف جهت یک جسم صلب با توجه به یک سیستم مختصات ثابت معرفی شده‌اند . [1]

آنها همچنین می توانند جهت یک چارچوب مرجع متحرک در فیزیک یا جهت گیری یک مبنای کلی را در جبر خطی سه بعدی نشان دهند .

زاویه های کلاسیک اویلر معمولاً زاویه شیب را به گونه ای می گیرند که صفر درجه جهت عمودی را نشان می دهد. فرم های جایگزین بعداً توسط پیتر گاتری تایت و جورج اچ برایان برای استفاده در هوانوردی و مهندسی معرفی شدند که در آنها صفر درجه موقعیت افقی را نشان می دهد.

معادل چرخش های زنجیره ای [ ویرایش ]

با استفاده از یک توالی خاص از چرخش های ذاتی، که بزرگی آن زوایای اویلر جهت گیری هدف است، می توان به هر جهت هدف دست یافت، با شروع از یک جهت مرجع شناخته شده. این مثال از دنباله zx′-z″ استفاده می کند .

همچنین نگاه کنید به: چرخش های زنجیره ای

زوایای اویلر را می توان با هندسه عنصری یا با ترکیب چرخش ها تعریف کرد. تعریف هندسی نشان می دهد که سه چرخش عنصری مرکب (چرخش حول محورهای یک سیستم مختصات ) همیشه برای رسیدن به هر قاب هدف کافی است.

سه چرخش عنصری ممکن است بیرونی باشند (چرخش‌های حول محور xyz سیستم مختصات اولیه که فرض می‌شود بی‌حرکت می‌ماند) یا درونی (چرخش‌های حول محورهای سیستم مختصات دوار XYZ ، همبستگی با جسم متحرک، که آن را تغییر می‌دهد. جهت گیری با توجه به قاب بیرونی پس از هر چرخش عنصری).

زوایای اویلر معمولاً به صورت α ، β ، γ ، یا ψ ، θ ، φ نشان داده می شوند . نویسندگان مختلف ممکن است از مجموعه های متفاوتی از محورهای چرخشی برای تعریف زوایای اویلر یا نام های متفاوتی برای زوایای یکسان استفاده کنند. بنابراین، هر بحثی که از زوایای اویلر استفاده می‌کند، باید همیشه مقدم بر تعریف آنها باشد.

بدون در نظر گرفتن امکان استفاده از دو قرارداد مختلف برای تعریف محورهای چرخش (ذاتی یا بیرونی)، دوازده دنباله ممکن از محورهای چرخشی وجود دارد که به دو گروه تقسیم می شوند:

• زوایای اویلر مناسب ( z - x - z ، x - y - x ، y - z - y ، z - y - z ، x - z - x ، y - x - y )
• زوایای Tait–Bryan ( x - y - z ، y - z - x ، z - x - y ، x - z - y ، z - y - x ، y - x - z ) .

زوایای Tait–Bryan زوایای Cardan نیز نامیده می شوند . زوایای دریایی ; سرفصل ، ارتفاع و بانک ؛ یا انحراف، زمین، و رول . گاهی اوقات، هر دو نوع دنباله را "زوایای اویلر" می نامند. در آن صورت دنباله های گروه اول را زاویه های اویلر مناسب یا کلاسیک می نامند .

زوایای کلاسیک اویلر [ ویرایش ]

سمت چپ: مجموعه گیمبال ، که دنباله چرخش z - x - z را نشان می دهد . قاب خارجی در پایه نشان داده شده است. محورهای داخلی به رنگ قرمز. راست: یک نمودار ساده که زوایای مشابه اویلر را نشان می دهد.

تعریف هندسی [ ویرایش ]

محورهای قاب اصلی به صورت x , y , z و محورهای فریم چرخانده شده به صورت X , Y , Z مشخص می شوند . تعریف هندسی (گاهی اوقات به عنوان ایستا از آن یاد می شود) با تعریف خط گره ها (N) به عنوان محل تلاقی صفحات xy و XY آغاز می شود (همچنین می توان آن را به عنوان عمود مشترک بر محورهای z و Z تعریف کرد و سپس به صورت زیر نوشت: حاصلضرب برداری N = z × Z ). با استفاده از آن می توان سه زاویه اویلر را به صورت زیر تعریف کرد:

• �(یا�) زاویه علامت گذاری شده بین محور x و محور N است ( x -convention - همچنین می توان آن را بین y و N تعریف کرد ، که y -convention نامیده می شود).
• �(یا�) زاویه بین محور z و محور Z است .
• �(یا�) زاویه علامت بین محور N و محور X ( x -convention) است.

زوایای اویلر بین دو قاب مرجع تنها در صورتی تعریف می شود که هر دو فریم دارای دست بودن یکسان باشند .

قراردادهای چرخش ذاتی [ ویرایش ]

چرخش های درونی، چرخش های عنصری هستند که حول محورهای یک سیستم مختصات XYZ متصل به جسم متحرک رخ می دهند. بنابراین بعد از هر چرخش عنصری جهت خود را تغییر می دهند. سیستم XYZ می چرخد، در حالی که xyz ثابت است. با شروع با XYZ همپوشانی xyz ، ترکیبی از سه چرخش ذاتی را می توان برای رسیدن به هر جهت هدف برای XYZ استفاده کرد .

زوایای اویلر را می توان با چرخش های ذاتی تعریف کرد. فریم چرخانده XYZ ممکن است تصور شود که ابتدا با xyz تراز شده است ، قبل از انجام سه چرخش عنصری که توسط زوایای اویلر نشان داده شده است. جهت گیری های متوالی آن را می توان به صورت زیر نشان داد:

• x - y - z یا x 0 - y 0 - z 0 (اولیه)
• x ′- y ′- z ′ یا x 1 - y 1 - z 1 (پس از اولین چرخش)
• x ″- y ″- z ″ یا x 2 - y 2 - z 2 (پس از چرخش دوم)
• X - Y - Z یا x 3 - y 3 - z 3 (نهایی)

برای دنباله چرخش های ذکر شده در بالا، خط گره های N را می توان به سادگی به عنوان جهت X پس از اولین چرخش عنصری تعریف کرد. بنابراین، N را می توان به سادگی x نشان داد . علاوه بر این، از آنجایی که چرخش عنصر سوم در مورد Z اتفاق می افتد، جهت Z را تغییر نمی دهد . بنابراین Z با z منطبق است . این به ما اجازه می دهد تا تعریف زوایای اویلر را به صورت زیر ساده کنیم:

• α (یا φ ) نشان دهنده چرخش حول محور z است ،
• β (یا θ ) نشان دهنده چرخش حول محور x است ،
• γ (یا ψ ) نشان دهنده چرخش حول محور z ″ است.

قراردادها توسط چرخش های بیرونی [ ویرایش ]

چرخش های بیرونی چرخش های عنصری هستند که حول محورهای سیستم مختصات ثابت xyz رخ می دهند . سیستم XYZ می چرخد، در حالی که xyz ثابت است. با شروع XYZ همپوشانی xyz ، ترکیبی از سه چرخش بیرونی را می توان برای رسیدن به هر جهت هدف برای XYZ استفاده کرد . زوایای اویلر یا تایت-برایان ( α ، β ، γ ) دامنه این چرخش های عنصری است. به عنوان مثال، جهت گیری هدف را می توان به صورت زیر بدست آورد (به ترتیب معکوس اعمال زاویه اویلر توجه کنید):

• سیستم XYZ حول محور z به اندازه γ می چرخد . اکنون محور X نسبت به محور x در زاویه γ است .
• سیستم XYZ دوباره می چرخد، اما این بار حول محور x توسط β می چرخد . اکنون محور Z نسبت به محور z در زاویه β است .
• سیستم XYZ برای بار سوم، دوباره حول محور z ، با زاویه α می چرخد .

در مجموع، سه چرخش عنصری در مورد z ، x و z رخ می دهد . در واقع، این دنباله اغلب z - x - z (یا 3-1-3) نشان داده می شود. مجموعه‌ای از محورهای چرخشی مرتبط با زاویه‌های اویلر مناسب و زاویه‌های Tait-Bryan معمولاً با استفاده از این نماد نام‌گذاری می‌شوند (برای جزئیات به بالا مراجعه کنید).

اگر هر مرحله از چرخش بر روی سیستم مختصات دوار XYZ عمل کند، چرخش ذاتی است ( ZX'-Z'' ). چرخش ذاتی را می توان 3-1-3 نیز نشان داد.

علائم، محدوده ها و قراردادها [ ویرایش ]

زاویه ها معمولاً بر اساس قانون دست راست تعریف می شوند . یعنی وقتی چرخشی را نشان می‌دهند که در جهت مثبت محور در جهت عقربه‌های ساعت ظاهر می‌شود، مقادیر مثبت و زمانی که چرخش در خلاف جهت عقربه‌های ساعت ظاهر می‌شود، مقادیر منفی دارند. قرارداد مخالف (قانون دست چپ) کمتر مورد استفاده قرار می گیرد.

درباره محدوده ها (با استفاده از نماد بازه ):

• برای α و γ ، محدوده مدول 2 π رادیان تعریف شده است . به عنوان مثال، یک محدوده معتبر می تواند [- π ،  π ] باشد .
• برای β ، محدوده رادیان π را پوشش می دهد (اما نمی توان گفت مدول π است ). برای مثال، می تواند [0,  π ] یا [− π /2،  π /2] باشد .

زوایای α ، β و γ به طور منحصربه‌فردی تعیین می‌شوند، به جز حالت مفرد که صفحات xy و XY یکسان هستند، یعنی زمانی که محور z و محور Z دارای جهت‌های یکسان یا مخالف باشند. در واقع، اگر محور z و محور Z یکسان باشند، β = 0 و فقط ( α + γ ) به طور منحصربه‌فرد تعریف می‌شود (نه مقادیر منفرد)، و به طور مشابه، اگر محور z و محور Z مخالف باشند، β = π و فقط ( α - γ ) منحصراً تعریف شده است (نه مقادیر فردی). این ابهامات به عنوان قفل گیمبال در برنامه ها شناخته می شوند.

شش امکان برای انتخاب محورهای چرخش برای زوایای اویلر مناسب وجود دارد. در همه آنها، محور چرخش اول و سوم یکسان است. شش دنباله ممکن عبارتند از:

1. z 1 - x ′- z 2 ″ (چرخش های درونی) یا z 2 - x - z 1 (چرخش های بیرونی)
2. x 1 - y ′- x 2 ″ (چرخش های درونی) یا x 2 - y - x 1 (چرخش های بیرونی)
3. y 1 - z ′- y 2 ″ (چرخش های درونی) یا y 2 - z - y 1 (چرخش های بیرونی)
4. z 1 - y ′- z 2 ″ (چرخش های درونی) یا z 2 - y - z 1 (چرخش های بیرونی)
5. x 1 - z ′- x 2 ″ (چرخش های درونی) یا x 2 - z - x 1 (چرخش های بیرونی)
6. y 1 - x ′- y 2 ″ (چرخش های درونی) یا y 2 - x - y 1 (چرخش های بیرونی)

تقدم، نوتاسیون و چرخش ذاتی [ ویرایش ]

حرکات اولیه اویلر زمین ذاتی (سبز)، تقدم (آبی) و Nutation (قرمز)

تقدم ، نوتاسیون و چرخش ذاتی (اسپین) به عنوان حرکاتی تعریف می شوند که با تغییر یکی از زاویه های اویلر در حالی که دو زاویه دیگر ثابت باقی می مانند. این حرکات بر حسب قاب خارجی یا بر حسب قاب بدنه چرخاننده متحرک بیان نمی شوند، بلکه در یک مخلوط بیان می شوند. آنها یک محور ترکیبی از سیستم چرخش را تشکیل می دهند ، که در آن زاویه اول خط گره ها را حول محور خارجی z حرکت می دهد ، زاویه دوم حول خط گره های N می چرخد ​​و سومین یک چرخش ذاتی حول Z است ، یک محور ثابت در بدنه. که حرکت می کند.

تعریف ایستا به این معناست که:

• α (پیشرفت) نشان دهنده چرخش حول محور z است ،
• β (نوتاسیون) نشان دهنده چرخش حول محور N یا x' است،
• γ (چرخش ذاتی) نشان دهنده چرخش حول محور Z یا z″ است.

اگر β صفر باشد، هیچ چرخشی حول N وجود ندارد . در نتیجه، Z با z منطبق است ، α و γ نشان دهنده چرخش حول همان محور ( z ) است، و جهت گیری نهایی را می توان با یک چرخش منفرد حول z ، با زاویه ای برابر با α + γ به دست آورد .

به عنوان مثال، یک تاپ را در نظر بگیرید . بالا حول محور تقارن خودش می چرخد. این مربوط به چرخش ذاتی آن است. همچنین حول محور محوری خود می چرخد ​​و مرکز جرم آن به دور محور محوری می چرخد. این چرخش یک تقدم است. در نهایت، قسمت بالایی می تواند بالا و پایین بچرخد. زاویه شیب زاویه nutation است. همین مثال را می توان با حرکات زمین مشاهده کرد.

اگرچه هر سه حرکت را می توان با یک عملگر چرخشی با ضرایب ثابت در برخی فریم ها نشان داد، اما نمی توان آنها را همزمان با این عملگرها نشان داد. با توجه به یک چارچوب مرجع، حداکثر یکی از آنها بدون ضریب خواهد بود. فقط تقدم را می توان به طور کلی به صورت ماتریسی در اساس فضا و بدون وابستگی به زوایای دیگر بیان کرد.

این حرکات نیز مانند یک مجموعه گیمبال رفتار می کنند. اگر ما [ چه کسی؟ ] فرض کنید مجموعه‌ای از فریم‌ها که می‌توانند هر یک را نسبت به اولی فقط بر اساس یک زاویه حرکت دهند، مانند گیمبال، یک قاب ثابت خارجی، یک قاب نهایی و دو فریم در وسط وجود دارد که به آنها «قاب‌های میانی» می‌گویند. ". این دو در وسط به عنوان دو حلقه گیمبال عمل می کنند که به آخرین فریم اجازه می دهد به هر جهتی در فضا برسد.