7-تکانه زاویه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه یکم خرداد ۱۴۰۲ | 20:16

مورد تک ذره [ ویرایش ]

در مورد یک ذره منفرد در حال حرکت در اطراف منشا دلخواه،

${\begin{aligned}\mathbf {r} _{i}&=\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,\\\mathbf {r} &=\mathbf {R} ,\\\mathbf {v} &=\mathbf {V} ,\\m&=M,\end{تراز شده}}$

$\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} ,$

$\sum _{i}I_{i}{\boldsymbol {\omega }}_{i}=\mathbf {0}،$

و معادلات ( 2 ) و ( 3 ) برای تکانه زاویه ای کل کاهش می یابد،

$\mathbf {L} =\mathbf {R} \times m\mathbf {V} =I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}.$

مورد مرکز جرم ثابت [ ویرایش ]

در مورد مرکز جرم ثابت در فضا با توجه به مبدا،

$\mathbf {V} =\mathbf {0} ,$

$\mathbf {R} \times M\mathbf {V} =\mathbf {0} ,$

$I_{R}{\boldsymbol {\omega }}_{R}=\mathbf {0} ,$

و معادلات ( 2 ) و ( 3 ) برای تکانه زاویه ای کل کاهش می یابد،

$\mathbf {L} =\sum _{i}\mathbf {r} _{i}\times m_{i}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i}I_{i} {\boldsymbol {\omega }}_{i}.$

تکانه زاویه ای در نسبیت عام [ ویرایش ]

تکانه 3 زاویه ای به عنوان دو بردار (عنصر صفحه) و بردار محوری ، ذره ای به جرم m با موقعیت 3 لحظه ای x و 3 تکانه p .

نوشتار اصلی: تکانه زاویه ای نسبیتی

در فیزیک نظری مدرن (قرن بیستم)، تکانه زاویه‌ای (بدون احتساب تکانه زاویه‌ای ذاتی - به زیر نگاه کنید ) با استفاده از فرمالیسم متفاوت، به جای شبه بردار کلاسیک، توصیف می‌شود . در این فرمالیسم، تکانه زاویه ای، بار نوتر 2 شکلی است که با تغییر ناپذیری چرخشی مرتبط است. در نتیجه، تکانه زاویه‌ای برای فضازمان‌های منحنی عمومی حفظ نمی‌شود ، مگر اینکه به طور مجانبی از نظر چرخشی ثابت باشد. [ نیازمند منبع ]

در مکانیک کلاسیک، تکانه زاویه ای یک ذره را می توان به عنوان یک عنصر صفحه تفسیر کرد:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \wedge \mathbf {p} \,,$

که در آن ضرب خارجی (∧) جایگزین ضرب متقاطع (×) می شود (این ضربها دارای ویژگی های مشابه هستند اما معادل نیستند). این مزیت تفسیر هندسی واضح‌تر به عنوان یک عنصر صفحه را دارد که با استفاده از بردارهای x و p تعریف می‌شود و عبارت در هر تعداد ابعاد درست است. در مختصات دکارتی:

${\begin{aligned}\mathbf {L} &=\left(xp_{y}-yp_{x}\right)\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y }+\left(yp_{z}-zp_{y}\right)\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z}+\left(zp_{x}-xp_{z} \right)\mathbf {e} _{z}\wedge \mathbf {e} _{x}\\&=L_{xy}\mathbf {e} _{x}\wedge \mathbf {e} _{y }+L_{yz}\mathbf {e} _{y}\wedge \mathbf {e} _{z}+L_{zx}\mathbf {e} _{z}\wedge \mathbf {e} _{x }\,,\end{تراز شده}}$

یا به صورت فشرده تر در نماد شاخص:

$L_{ij}=x_{i}p_{j}-x_{j}p_{i}\,.$

سرعت زاویه ای را می توان به عنوان یک تانسور مرتبه دوم ضد متقارن با مولفه های ω ij نیز تعریف کرد . رابطه بین دو تانسور ضد متقارن با ممان اینرسی که اکنون باید یک تانسور مرتبه چهارم باشد به دست می‌آید: [31]

$L_{ij}=I_{ijk\ell }\omega _{k\ell }\,.$

باز هم، این معادله در L و ω به عنوان تانسور در هر تعدادی از ابعاد صادق است. این معادله در فرمالیسم جبر هندسی نیز ظاهر می شود که در آن L و ω دو بردار هستند و ممان اینرسی نگاشت بین آنهاست.

در مکانیک نسبیتی ، تکانه زاویه ای نسبیتی یک ذره به صورت یک تانسور ضد متقارن مرتبه دوم بیان می شود:

$M_{\alpha \beta }=X_{\alpha }P_{\beta }-X_{\beta }P_{\alpha }$

بر حسب چهار بردار ، یعنی چهار موقعیت X و چهار تکانه P ، و L فوق را همراه با گشتاور جرم جذب می کند ، یعنی حاصلضرب جرم نسبیتی ذره و مرکز جرم آن ، که می توان آن را به عنوان توصیف حرکت مرکز جرم آن در نظر گرفت، زیرا جرم-انرژی حفظ شده است.

در هر یک از موارد فوق، برای سیستمی از ذرات، تکانه زاویه ای کل فقط مجموع تکانه های زاویه ای ذره است و مرکز جرم برای سیستم است.

تکانه زاویه ای در مکانیک کوانتومی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: عملگر حرکت زاویه ای

در مکانیک کوانتومی ، تکانه زاویه ای (مانند سایر کمیت ها) به عنوان یک عملگر بیان می شود و پیش بینی های یک بعدی آن دارای مقادیر ویژه کوانتیزه شده است . تکانه زاویه ای تابع اصل عدم قطعیت هایزنبرگ است ، به این معنی که در هر زمان، تنها یک طرح ریزی (که "مولفه" نیز نامیده می شود) می تواند با دقت مشخص اندازه گیری شود. دو مورد دیگر نامشخص باقی می مانند. به همین دلیل، محور چرخش یک ذره کوانتومی تعریف نشده است. ذرات کوانتومی دارای نوعی تکانه زاویه ای غیر مداری به نام "اسپین" هستند، اما این تکانه زاویه ای با یک حرکت چرخشی مطابقت ندارد . [32] در مکانیک کوانتومی نسبیتیتعریف نسبیتی فوق به یک عملگر تنزیری تبدیل می شود.

اسپین، مداری و تکانه زاویه ای کل [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: اسپین (فیزیک)

لحظه زاویه ای یک جسم کلاسیک .

سمت چپ: تکانه زاویه ای "اسپین" S واقعاً تکانه زاویه ای مداری جسم در هر نقطه است.
سمت راست: تکانه زاویه ای مداری بیرونی L حول یک محور.
بالا: ممان تانسور اینرسی I و سرعت زاویه ای ω ( L همیشه موازی با ω نیست ). [33]
پایین: تکانه p و موقعیت شعاعی آن r از محور. تکانه زاویه ای کل (اسپین به علاوه اوربیتال) J است . برای یک ذره کوانتومی تفاسیر متفاوت است. اسپین ذرات تفسیر فوق را ندارد .

تعریف کلاسیک تکانه زاویه ای به عنوان $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$ را می توان با تفسیر مجدد r به عنوان عملگر موقعیت کوانتومی و p به عنوان عملگر تکانه کوانتومی به مکانیک کوانتومی منتقل کرد . سپس L یک عملگر است که به طور خاص عملگر تکانه زاویه ای مداری نامیده می شود . اجزای عملگر تکانه زاویه ای روابط کموتاسیون جبر Lie so(3) را برآورده می کند. در واقع، این عملگرها دقیقاً عمل بی نهایت کوچک گروه چرخش در فضای هیلبرت کوانتومی هستند. [34] (همچنین به بحث زیر در مورد عملگرهای تکانه زاویه ای به عنوان مولدهای چرخش مراجعه کنید.)

با این حال، در فیزیک کوانتوم، نوع دیگری از تکانه زاویه‌ای به نام تکانه زاویه‌ای اسپین وجود دارد که توسط عملگر اسپین S نشان داده می‌شود . اسپین اغلب به صورت ذره ای به تصویر کشیده می شود که به معنای واقعی کلمه حول یک محور می چرخد، اما این یک تصویر گمراه کننده و نادرست است: اسپین یک ویژگی ذاتی یک ذره است که به هیچ نوع حرکتی در فضا ارتباطی ندارد و اساساً با تکانه زاویه ای مداری متفاوت است. همه ذرات بنیادی یک اسپین مشخصه دارند (احتمالاً صفر)، [35] و تقریباً همه ذرات بنیادی اسپین غیر صفر دارند. [36] برای مثال الکترون‌ها دارای "اسپین 1/2" (این در واقع به معنای "اسپین ħ /2")، فوتون‌ها هستند.دارای "اسپین 1" (این در واقع به معنای "چرخش ħ") و پی مزون ها اسپین 0 دارند. [37]

در نهایت، تکانه زاویه ای کل J وجود دارد ، که هر دو حرکت زاویه ای اسپین و مداری همه ذرات و میدان ها را ترکیب می کند. (برای یک ذره، J = L + S .) پایستگی تکانه زاویه ای در مورد J صدق می کند ، اما نه برای L یا S. برای مثال، اندرکنش اسپین-مدار اجازه می دهد تا تکانه زاویه ای بین L و S به عقب و جلو منتقل شود ، با کل ثابت باقی مانده است. الکترون‌ها و فوتون‌ها برای تکانه زاویه‌ای کل نیازی به مقادیر مبتنی بر اعداد صحیح ندارند، اما می‌توانند مقادیر نیمه صحیح نیز داشته باشند. [38]

در مولکول ها، تکانه زاویه ای کل F مجموع تکانه زاویه ای روویبرونیک (اوربیتال) N ، تکانه زاویه ای اسپین الکترون S ، و تکانه زاویه ای اسپین هسته ای I است . برای حالت‌های منفرد الکترونیکی، تکانه زاویه‌ای روویبرونیک به جای N نشان داده می‌شود . همانطور که توسط Van Vleck توضیح داده شد، [39] اجزای تکانه زاویه‌ای روویبرونیک مولکولی که به محورهای ثابت مولکولی اشاره می‌شود، روابط کموتاسیون متفاوتی با اجزای مربوط به محورهای ثابت در فضا دارند.

کوانتیزاسیون [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: عملگر حرکت زاویه ای

در مکانیک کوانتومی ، تکانه زاویه‌ای کوانتیزه می‌شود – یعنی نمی‌تواند به طور پیوسته تغییر کند، بلکه فقط در « جهش‌های کوانتومی » بین مقادیر مجاز مشخصی تغییر می‌کند. برای هر سیستمی، محدودیت های زیر در نتایج اندازه گیری اعمال می شود، جایی کهℏ $\hbar$ ثابت پلانک کاهش یافته است و ${\ کلاه {n}}$ هر بردار اقلیدسی مانند x، y یا z است:

اگر اندازه گیری کنید ...	نتیجه می تواند ...
$L_{\hat {n}}$	$\ldots ,-2\hbar ,-\hbar ,0,\hbar ,2\hbar ,\ldots$
$S_{\hat {n}}$ یا $J_{\hat {n}}$	$\ldots ,-{\frac {3}{2}}\hbar ,-\hbar ,-{\frac {1}{2}}\hbar ,0,{\frac {1}{2}}\hbar , \hbar ,{\frac {3}{2}}\hbar ,\ldots$
${\begin{aligned}&L^{2}\\={}&L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\end{aligned} }$	$\left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]$ ، جایی که $n=0،1،2،\ldots$
$S^{2}$ یا $J^{2}$	$\left[\hbar ^{2}n(n+1)\right]$ ، جایی که،… $n=0،{\tfrac {1}{2}}،1،{\tfrac {3}{2}}،\ldots$

در این موج ایستاده روی یک رشته دایره ای، دایره دقیقاً به 8 طول موج شکسته می شود . یک موج ایستاده مانند این می تواند 0،1،2 یا هر عدد صحیحی از طول موج در اطراف دایره داشته باشد، اما نمی تواند تعداد طول موج های غیر صحیحی مانند 8.3 داشته باشد. در مکانیک کوانتومی، تکانه زاویه ای به دلیل مشابهی کوانتیزه می شود.

ثابت پلانک کاهش یافته $\hbar$ طبق استانداردهای روزمره بسیار کوچک است، حدود 10-34 J s ، و بنابراین این کوانتیزاسیون به طور قابل توجهی بر حرکت زاویه ای اجسام ماکروسکوپی تأثیر نمی گذارد. با این حال، در دنیای میکروسکوپی بسیار مهم است. به عنوان مثال، ساختار پوسته های الکترونی و زیر پوسته ها در شیمی به طور قابل توجهی تحت تأثیر کوانتیزه شدن تکانه زاویه ای است.

کوانتیزاسیون تکانه زاویه ای ابتدا توسط نیلز بور در مدل اتم خود فرض شد و بعداً توسط اروین شرودینگر در معادله شرودینگر پیش بینی شد .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی