7-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و یکم اردیبهشت ۱۴۰۲ | 18:48

فرمول بندی فضای تکانه [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: فضای موقعیت و تکانه § مکانیک لاگرانژی

معادلات اویلر-لاگرانژ را می‌توان بر حسب لحظه‌های تعمیم‌یافته و نه مختصات تعمیم‌یافته فرمول‌بندی کرد. انجام تبدیل لژاندر بر روی مختصات تعمیم یافته لاگرانژی L ( q , d q /d t , t ) گشتاور تعمیم یافته لاگرانژی L '( p , d p /d t , t را به دست می آورد.) بر حسب لاگرانژ اصلی، و همچنین معادلات EL بر حسب لحظه ای تعمیم یافته. هر دو لاگرانژی حاوی اطلاعات یکسانی هستند و می توان از هر یک برای حل حرکت سیستم استفاده کرد. در عمل مختصات تعمیم یافته برای استفاده و تفسیر راحت تر از لحظه ای تعمیم یافته است.

مشتقات بالاتر مختصات تعمیم یافته [ ویرایش ]

هیچ دلیل ریاضی برای محدود کردن مشتقات مختصات تعمیم یافته فقط به مرتبه اول وجود ندارد. می توان معادلات EL اصلاح شده را برای یک لاگرانژی حاوی مشتقات مرتبه بالاتر استخراج کرد، برای جزئیات به معادله اویلر-لاگرانژ مراجعه کنید. با این حال، از دیدگاه فیزیکی، مانعی برای گنجاندن مشتقات زمانی بالاتر از مرتبه اول وجود دارد، که با ساختن فرمالیسم متعارف استروگرادسکی برای لاگرانژی‌های مشتق بالاتر غیرمنحط، به Ostrogradsky_instability دلالت دارد .

اپتیک [ ویرایش ]

مقاله اصلی: اپتیک همیلتونی

مکانیک لاگرانژی را می توان با اعمال اصول تغییر بر پرتوهای نور در یک محیط، در اپتیک هندسی به کار برد، و حل معادلات EL معادلات مسیرهایی را که پرتوهای نور دنبال می کنند به دست می دهد.

فرمول نسبیتی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: مکانیک لاگرانژی نسبیتی

مکانیک لاگرانژی را می توان در نسبیت خاص و نسبیت عام فرموله کرد . برخی از ویژگی‌های مکانیک لاگرانژی در نظریه‌های نسبیتی حفظ شده‌اند، اما مشکلات به سرعت در جنبه‌های دیگر ظاهر می‌شوند. به طور خاص، معادلات EL همان شکل را دارند، و ارتباط بین مختصات چرخه‌ای و لحظه‌ای حفظ‌شده همچنان اعمال می‌شود، اما لاگرانژ باید اصلاح شود و صرفاً جنبشی منهای انرژی پتانسیل یک ذره نیست. همچنین، رسیدگی به سیستم‌های چندذره‌ای به صورت آشکارا کوواریانت ساده نیست ، اگر یک چارچوب مرجع خاص مشخص شود ممکن است.

مکانیک کوانتومی [ ویرایش ]

در مکانیک کوانتومی ، عمل و فاز مکانیکی کوانتومی از طریق ثابت پلانک به هم مرتبط هستند و اصل عمل ساکن را می‌توان بر حسب تداخل سازنده توابع موج درک کرد .

در سال 1948، فاینمن فرمول انتگرال مسیر را کشف کرد که اصل کمترین عمل را به مکانیک کوانتومی برای الکترون‌ها و فوتون‌ها گسترش می‌داد . در این فرمول، ذرات هر مسیر ممکن را بین حالت اولیه و نهایی طی می کنند. احتمال یک حالت نهایی خاص با جمع کردن تمام مسیرهای ممکن منتهی به آن به دست می آید. در رژیم کلاسیک، فرمول انتگرال مسیر به وضوح اصل همیلتون و اصل فرما را در اپتیک بازتولید می کند .

نظریه میدان کلاسیک [ ویرایش ]

در مکانیک لاگرانژی، مختصات تعمیم یافته مجموعه گسسته ای از متغیرها را تشکیل می دهند که پیکربندی یک سیستم را تعریف می کنند. در نظریه میدان کلاسیک ، سیستم فیزیکی مجموعه‌ای از ذرات مجزا نیست، بلکه یک میدان پیوسته ϕ ( r , t ) است که بر روی یک منطقه از فضای سه‌بعدی تعریف شده است. مرتبط با میدان چگالی لاگرانژی است

${\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {r} ,t)$

بر حسب میدان و مشتقات مکانی و زمانی آن در یک مکان r و زمان t تعریف شده است . مشابه با مورد ذره، برای کاربردهای غیر نسبیتی، چگالی لاگرانژی چگالی انرژی جنبشی میدان است، منهای چگالی انرژی پتانسیل آن (این به طور کلی درست نیست، و چگالی لاگرانژی باید "مهندسی معکوس" باشد). سپس لاگرانژ انتگرال حجمی چگالی لاگرانژی در فضای سه بعدی است

$L(t)=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r}$

که در آن d 3 r یک عنصر حجم دیفرانسیل سه بعدی است . لاگرانژ تابعی از زمان است زیرا چگالی لاگرانژی وابستگی ضمنی فضایی از طریق میدان‌ها دارد، و ممکن است وابستگی فضایی صریح داشته باشد، اما اینها در انتگرال حذف می‌شوند و تنها زمان به عنوان متغیر لاگرانژ باقی می‌ماند.

قضیه نوتر [ ویرایش ]

اصل کنش، و فرمالیسم لاگرانژی، با قضیه نوتر ، که کمیت‌های فیزیکی حفظ‌شده را به تقارن‌های پیوسته یک سیستم فیزیکی متصل می‌کند، گره خورده است.

اگر لاگرانژ تحت یک تقارن ثابت باشد، معادلات حرکتی حاصل نیز تحت آن تقارن تغییرناپذیر هستند. این مشخصه برای نشان دادن سازگاری نظریه ها با نسبیت خاص یا نسبیت عام بسیار مفید است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پورتال نجوم

مختصات متعارف
لم اساسی حساب تغییرات
مشتق تابعی
مختصات تعمیم یافته
مکانیک هامیلتونی
اپتیک هامیلتونی
مسئله معکوس برای مکانیک لاگرانژی ، موضوع کلی یافتن لاگرانژی برای یک سیستم با توجه به معادلات حرکت.
مشخصات لاگرانژی و اولری میدان جریان
نقطه لاگرانژی
سیستم لاگرانژی
مکانیک غیرخودکار
مشکل فلات
مشکل سه تنه محدود

پاورقی ها [ ویرایش ]

^ گاهی اوقات در این زمینه مشتق متغیر به عنوان نشان داده و تعریف می شود

${\frac {\delta }{\delta \mathbf {r} _{k}}}\equiv {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\ frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}$

استفاده می شود. در سراسر این مقاله فقط از مشتقات جزئی و کل استفاده شده است.

^ در اینجا جابجایی های مجازی برگشت پذیر فرض می شوند، ممکن است برای برخی از سیستم ها جابجایی های مجازی غیر قابل برگشتی داشته باشند که این اصل را نقض می کنند، به معادله Udwadia-Kalaba مراجعه کنید .
^ به عبارت دیگر

$\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0$ اما برای ذره k تحت یک نیروی محدودیت قرار دارد

$C_{k\,x}\delta x_{k}\neq 0\,,\quad C_{k\,y}\delta y_{k}\neq 0\,,\quad C_{k\, z}\delta z_{k}\neq 0$ به دلیل معادلات محدودیت در مختصات r k .
^ لاگرانژی همچنین می تواند به صراحت برای یک قاب چرخان نوشته شود. نگاه کنید به پادمانابهان، 2000.

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ Hand & Finch 1998 , p. 23
^ Hand & Finch 1998 , pp. 18-20
↑ Hand & Finch 1998 , pp. 46, 51
^ توربی 1984 ، ص. 270
^ a b c d پرش به بالا: Torby 1984 , p. 269
^ Hand & Finch 1998 , p. 36-40
^ Hand & Finch 1998 , p. 60-61
^ Hand & Finch 1998 , p. 19
↑ پنروز 2007
^ شوام 1988 ، ص. 156
^ سینج و شیلد 1949 ، ص. 150-152
فاستر و بلبل 1995 ، ص. 89
^ Hand & Finch 1998 , p. 4
^ گلدشتاین 1980 ، صفحات 16-18
^ Hand 1998 , p. 15
^ Hand & Finch 1998 , p. 15
^ Fetter & Walecka 1980 , p. 53
↑ کیبل و برکشایر 2004 ، ص. 234
^ Fetter & Walecka 1980 , p. 56
^ Hand & Finch 1998 , p. 17
^ Hand & Finch 1998 , p. 15-17
↑ R. Penrose (2007). راه به سوی واقعیت . کتاب های قدیمی پ. 474. شابک 978-0-679-77631-4.
^ گلدشتاین 1980 ، ص. 23
↑ کیبل و برکشایر 2004 ، ص. 234-235
^ Hand & Finch 1998 , p. 51
^ a b پرش به بالا: Hand & Finch 1998 , p. 44-45
^ گلدشتاین 1980
^ Fetter & Walecka ، صفحات 68-70
^ a b پرش به بالا: Landau & Lifshitz 1976 , p. 4
↑ گلدشتاین، پول و سافکو 2002 ، ص. 21
^ لاندو و لیفشیتز 1976 ، ص. 4
^ گلدشتاین 1980 ، ص. 21
^ لاندو و لیفشیتز 1976 ، ص. 14
^ لاندو و لیفشیتز 1976 ، ص. 22
^ تیلور 2005 ، ص. 297
↑ پادمانابهان 2000 ، ص. 48
↑ Hand & Finch 1998 , pp. 140-141
^ هیلدبراند 1992 ، ص. 156
↑ Zak, Zbilut & Meyers 1997 , pp. 202
↑ Shabana 2008 , pp. 118-119
↑ گانون 2006 ، ص. 267
↑ کوسیاکوف 2007
^ گالی 2013
↑ هادار، شهر و کل 2014
↑ Birnholtz, Hadar & Kol 2013
^ a b پرش به بالا: Torby 1984 , p. 271

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrangian_mechanics

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی